Em um processo de soldagem, a probabilidade de que uma solda falhe é de 2 %. Se forem realizadas 100 soldas, qual a probabilidade de que exatamente 1 falhe?

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade relacionado a um processo de soldagem. A gente sabe que a chance de uma solda dar errado é de 2%. Queremos descobrir qual a probabilidade de, em 100 soldas feitas, exatamente 1 delas falhar. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade binomial, que nos ajudam a calcular a chance de eventos específicos acontecerem em um certo número de tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa probabilidade binomial. Esse conceito é usado quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas: sucesso ou falha. No nosso caso, cada solda pode dar certo (sucesso) ou falhar (falha).
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • é a probabilidade de exatamente sucessos.
  • é a combinação de elementos tomados a , ou seja, quantas maneiras temos de escolher sucessos em tentativas.
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • é o número total de tentativas.

Passo 3

No nosso caso:
  • C(100, 1) = 100!1! times (100 - 1)! = 100 (total de soldas)
  • p^1 = 0.02 (exactamente uma falha)
  • (1 - 0.02)^100 - 1 = 0.98^99 (probabilidade de uma solda falhar)
Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Calculando a combinação :
Isso significa que há 100 maneiras de escolher qual das soldas vai falhar.
  1. Calculando :
  1. Calculando :
Esse valor representa a probabilidade de as outras 99 soldas darem certo.

Passo 4

Agora, vamos juntar tudo na fórmula:
P(X = 1) = 100 times 0.02 times 0.98^99
Para calcular 0.98^99 approx 0.132 , precisamos usar uma calculadora científica ou uma ferramenta que permita computar potências. Após o cálculo, encontramos que:

Passo 5

Multiplicando os valores:
P(X = 1) = 100 times 0.02 times 0.132
P(X = 1) = 2 times 0.132
P(X = 1) = 0.264

Resposta

A probabilidade de exatamente 1 em 100 soldas falhar é de aproximadamente 26,4%.

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