Uma amostra extraída de X sim B(n ; p) resultou em 40 sucessos e 60 fracassos. Ache um IC de 99 % para p;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma distribuição binomial X sim B(n; p), onde observamos 40 sucessos e 60 fracassos, totalizando n = 100. Nosso objetivo é encontrar um Intervalo de Confiança (IC) de 99% para a proporção de sucesso p. Para isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados a intervalos de confiança para proporções.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a proporção amostral de sucessos, que é a nossa melhor estimativa para p. A proporção amostral p é dada por:
p = número de sucessosnúmero total de ensaios = 40100 = 0.4 úú
Isso significa que, na amostra, 40% dos ensaios resultaram em sucesso.

Passo 3

Para construir o IC, utilizamos a fórmula do intervalo de confiança para uma proporção:
p pm zalpha/2 times raizp(1 - p)n
Aqui:
  • p é a proporção amostral (0.4).
  • zalpha/2 é o valor crítico da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança desejado.
  • n é o tamanho da amostra (100).

Passo 4

Precisamos encontrar o valor de zalpha/2 para um IC de 99%. Isso significa que a área nas duas extremidades da curva normal será de 0.5% em cada lado (totalizando 1%). Consultando a tabela da distribuição normal, encontramos que z0.005 approx 2.576.

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do IC:
0.4 pm 2.576 times raiz0.4 times 0.6100 = 0.4 pm 2.576 times raiz0.0024 approx 0.4 pm 2.576 times 0.049 approx 0.4 pm 0.126

Resposta

O intervalo de confiança de 99% para p é aproximadamente (0.274, 0.526).

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