Determinada indústria usa uma grande quantidade de lâmpadas fluorescentes. A vida útil de cada lâmpada possui distribuição normal com média e desvio padrão de 500 e 50 horas, respectivamente. A fim de minimizar o custo de sua operação e suas reposições durante o horário de funcionamento da indústria, decidiu-se que todas as lâmpadas sejam trocadas quando não mais do que delas queimem. Qual a periodicidade de reposição das lâmpadas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma indústria que usa muitas lâmpadas fluorescentes, e a vida útil delas segue uma distribuição normal com média de 500 horas e desvio padrão de 50 horas. O objetivo é descobrir com que frequência a indústria deve trocar as lâmpadas para que no máximo 1/4 delas queimem antes da troca. Para isso, vamos precisar usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal e percentis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “distribuição normal”. É uma forma de distribuir os dados onde a maioria dos valores fica próxima da média, e as chances diminuem conforme nos afastamos dela. Aqui, a média (μ) é 500 horas e o desvio padrão (σ) é 50 horas.

Passo 3

Queremos que no máximo 25% das lâmpadas queimem antes da próxima troca. Isso significa que 75% das lâmpadas devem durar pelo menos até a troca. Em termos de probabilidade, buscamos o ponto tal que:
Ou seja,

Passo 4

Para encontrar , vamos padronizar a variável usando a fórmula da variável Z da distribuição normal:
Queremos encontrar o valor de que corresponde a uma probabilidade acumulada de 0.75.

Passo 5

Consultando uma tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, descobrimos que o valor de que corresponde a 0.75 de probabilidade acumulada é aproximadamente 0.6745.

Passo 6

Agora, usamos esse valor de para encontrar :
Substituindo os valores:

Resposta

A periodicidade de reposição das lâmpadas deve ser de aproximadamente 534 horas.

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Certa máquina empacota determinado produto, cujo peso segue uma distribuiçãoNormal, tal que, . Responda: a) Em quanto deve ser regulado o peso médio do pacote para que apenas tenham menos que 400 g ?; b) Qual o menor pesodentre os que mais pesam?
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