Determinada indústria usa uma grande quantidade de lâmpadas fluorescentes. A vida útil de cada lâmpada possui distribuição normal com média e desvio padrão de 500 e 50 horas, respectivamente. A fim de minimizar o custo de sua operação e suas reposições durante o horário de funcionamento da indústria, decidiu-se que todas as lâmpadas sejam trocadas quando não mais do que
delas queimem. Qual a periodicidade de reposição das lâmpadas?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma indústria que usa muitas lâmpadas fluorescentes, e a vida útil delas segue uma distribuição normal com média de 500 horas e desvio padrão de 50 horas. O objetivo é descobrir com que frequência a indústria deve trocar as lâmpadas para que no máximo 1/4 delas queimem antes da troca. Para isso, vamos precisar usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal e percentis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “distribuição normal”. É uma forma de distribuir os dados onde a maioria dos valores fica próxima da média, e as chances diminuem conforme nos afastamos dela. Aqui, a média (μ) é 500 horas e o desvio padrão (σ) é 50 horas.
Passo 3
Queremos que no máximo 25% das lâmpadas queimem antes da próxima troca. Isso significa que 75% das lâmpadas devem durar pelo menos até a troca. Em termos de probabilidade, buscamos o ponto
tal que:
Ou seja,
Passo 4
Para encontrar
, vamos padronizar a variável
usando a fórmula da variável Z da distribuição normal:
Queremos encontrar o valor de
que corresponde a uma probabilidade acumulada de 0.75.
Passo 5
Consultando uma tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, descobrimos que o valor de
que corresponde a 0.75 de probabilidade acumulada é aproximadamente 0.6745.
Passo 6
Agora, usamos esse valor de
para encontrar
:
Substituindo os valores:
Resposta
A periodicidade de reposição das lâmpadas deve ser de aproximadamente 534 horas.