Considere uma população formada por apenas três valores, . a)
Calcule E(x) e V(x); Extraia, com reposição, todas as amostras possíveis de tamanho dois e ache . Calcule e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma população com os valores . O que precisamos fazer aqui é calcular a Esperança Matemática e a Variância dessa população. Depois, vamos tirar todas as amostras possíveis de tamanho 2 com reposição, calcular a média de cada amostra ( ), e então encontrar a Esperança e a Variância dessas médias. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de estatística, como média, variância, e amostragem com reposição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a Esperança Matemática da população. A esperança é basicamente a média ponderada dos valores, onde cada valor tem a mesma probabilidade de ocorrer.

Passo 3

Agora, vamos calcular a Variância da população. A variância mede o quanto os valores estão espalhados em relação à média. A fórmula para a variância é:
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:

Passo 4

Agora, vamos extrair todas as amostras possíveis de tamanho 2 com reposição. Com reposição significa que depois de tirar um valor, ele volta para a população e pode ser escolhido novamente. Vamos listar todas as combinações possíveis:
Total de amostras: 16.
Agora, vamos calcular a média de cada amostra:

Passo 5

Agora, vamos calcular a Esperança das médias das amostras. Como todas as amostras têm a mesma probabilidade, a esperança é a média de todas as :
Somando tudo:
Então:

Passo 6

Por fim, vamos calcular a Variância das médias das amostras. A fórmula para a variância é:
Primeiro, vamos calcular :
Calculando cada termo:
Então:
Agora, usando a fórmula da variância:

Resposta

A Esperança é 1,3125 e a Variância é aproximadamente 0,7773.

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