Considere uma população formada por apenas três valores, X=0,1,2,3. a)
Calcule E(x) e V(x); Extraia, com reposição, todas as amostras possíveis de tamanho dois (n=2) e ache barx. Calcule E(barx) e V(barx).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma população com os valores . O que precisamos fazer aqui é calcular a Esperança Matemática e a Variância dessa população. Depois, vamos tirar todas as amostras possíveis de tamanho 2 com reposição, calcular a média de cada amostra ( ), e então encontrar a Esperança e a Variância dessas médias. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de estatística, como média, variância, e amostragem com reposição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a Esperança Matemática E(x) = 0 + 1 + 2 + 34 = 64 = 1,5 da população. A esperança é basicamente a média ponderada dos valores, onde cada valor tem a mesma probabilidade de ocorrer.

Passo 3

Agora, vamos calcular a Variância V(x) = (0 - 1,5)^2 + (1 - 1,5)^2 + (2 - 1,5)^2 + (3 - 1,5)^24 da população. A variância mede o quanto os valores estão espalhados em relação à média. A fórmula para a variância é:
(0 - 1,5)^2 = 2,25 (1 - 1,5)^2 = 0,25 (2 - 1,5)^2 = 0,25 (3 - 1,5)^2 = 2,25
Vamos calcular cada termo:
V(x) = 2,25 + 0,25 + 0,25 + 2,254 = 54 = 1,25
Somando tudo:

Passo 4

Agora, vamos extrair todas as amostras possíveis de tamanho 2 com reposição. Com reposição significa que depois de tirar um valor, ele volta para a população e pode ser escolhido novamente. Vamos listar todas as combinações possíveis:
(0,0), (0,1), (0,2), (0,3) (1,0), (1,1), (1,2), (1,3) (2,0), (2,1), (2,2), (2,3) (3,0), (3,1), (3,2), (3,3)
Total de amostras: 16.
Agora, vamos calcular a média (0,0) & 0+02 = 0 (0,1) & 0+12 = 0,5 (0,2) & 0+22 = 1 (0,3) & 0+32 = 1,5 (1,0) & 1+02 = 0,5 (1,1) & 1+12 = 1 (1,2) & 1+22 = 1,5 (1,3) & 1+32 = 2 (2,0) & 2+02 = 1 (2,1) & 2+12 = 1,5 (2,2) & 2+22 = 2 (2,3) & 2+32 = 2,5 (3,0) & 3+02 = 1,5 (3,1) & 3+12 = 2 (3,2) & 3+22 = 2,5 (3,3) & 3+32 = 3 de cada amostra:

Passo 5

Agora, vamos calcular a Esperança E(barx) = 0 + 0,5 + 1 + 1,5 + 0,5 + 1 + 1,5 + 2 + 1 + 1,5 + 2 + 2,5 + 1,5 + 2 + 2,5 + 316 das médias das amostras. Como todas as amostras têm a mesma probabilidade, a esperança é a média de todas as 0 + 0,5 + 1 + 1,5 + 0,5 + 1 + 1,5 + 2 + 1 + 1,5 + 2 + 2,5 + 1,5 + 2 + 2,5 + 3 = 21 :
E(barx) = 2116 = 1,3125
Somando tudo:
Então:

Passo 6

Por fim, vamos calcular a Variância V(barx) = E(barx^2) - [E(barx)]^2 das médias das amostras. A fórmula para a variância é:
E(barx^2) = 0^2 + 0,5^2 + 1^2 + 1,5^2 + 0,5^2 + 1^2 + 1,5^2 + 2^2 + 1^2 + 1,5^2 + 2^2 + 2,5^2 + 1,5^2 + 2^2 + 2,5^2 + 3^216
Primeiro, vamos calcular 0 + 0,25 + 1 + 2,25 + 0,25 + 1 + 2,25 + 4 + 1 + 2,25 + 4 + 6,25 + 2,25 + 4 + 6,25 + 9 = 40 :
E(barx^2) = 4016 = 2,5
Calculando cada termo:
V(barx) = 2,5 - (1,3125)^2 = 2,5 - 1,72265625 = 0,77734375
Então:
Agora, usando a fórmula da variância:

Resposta

A Esperança é 1,3125 e a Variância é aproximadamente 0,7773.

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