Seja a
kxy,
e
. Para qual valor de k a
é uma fdp?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
definida para
e
. A pergunta é: qual valor de
faz com que essa função seja uma função de densidade de probabilidade (fdp)? Ou seja, precisamos garantir que a área total sob essa superfície seja igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser uma fdp, a integral dupla dela sobre todo o domínio deve ser igual a 1. Então, a gente tem que calcular:
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
. Mantendo
constante, temos:
Integrando
de 0 a 2:
Passo 4
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a
:
Integrando
de 0 a 1:
Passo 5
Sabemos que essa integral toda precisa ser igual a 1 para que
seja uma fdp. Então:
Resposta
O valor de
que faz com que
seja uma função de densidade de probabilidade é
.