Seja a f(x, y)= kxy, 0 e 0. Para qual valor de k a f(x, y) é uma fdp?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função definida para e . A pergunta é: qual valor de faz com que essa função seja uma função de densidade de probabilidade (fdp)? Ou seja, precisamos garantir que a área total sob essa superfície seja igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser uma fdp, a integral dupla dela sobre todo o domínio deve ser igual a 1. Então, a gente tem que calcular:
integral0^1 integral0^2 kxy , dy , dx = 1

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integral0^2 kxy , dy = kx integral0^2 y , dy . Mantendo kx [ y^22 ]0^2 = kx ( 42 - 0 ) = kx cdot 2 = 2kx constante, temos:
Integrando de 0 a 2:

Passo 4

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a integral0^1 2kx , dx = 2k integral0^1 x , dx :
2k [ x^22 ]0^1 = 2k ( 12 - 0 ) = 2k cdot 12 = k
Integrando de 0 a 1:

Passo 5

Sabemos que essa integral toda precisa ser igual a 1 para que k = 1 seja uma fdp. Então:

Resposta

O valor de que faz com que seja uma função de densidade de probabilidade é .

Exercícios relacionados