Seja a kxy, e . Calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função de densidade conjunta onde varia de 0 a 1 e de 0 a 2. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de que seja menor que 1/2 e seja menor que 1, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de probabilidade conjunta e integrais duplas para encontrar a constante e depois calcular a probabilidade desejada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a constante para que seja uma função de densidade válida. Isso significa que a integral dupla de sobre todo o domínio deve ser igual a 1:
Vamos resolver essa integral para encontrar .

Passo 3

Vamos calcular a integral interna primeiro, em relação a :
Agora, integramos o resultado em relação a :
Igualando a 1:

Passo 4

Agora que sabemos que , vamos calcular a probabilidade . Isso significa que vamos integrar sobre de 0 a 1/2 e de 0 a 1:

Passo 5

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :
Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

A probabilidade é igual a .

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