Seja a f(x, y)= kxy, 0 e 0. Calcule P(x<1 / 2 ; y<1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função de densidade conjunta onde varia de 0 a 1 e de 0 a 2. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de que seja menor que 1/2 e seja menor que 1, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de probabilidade conjunta e integrais duplas para encontrar a constante e depois calcular a probabilidade desejada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a constante integral0^1 integral0^2 kxy , dy , dx = 1 para que seja uma função de densidade válida. Isso significa que a integral dupla de sobre todo o domínio deve ser igual a 1:
Vamos resolver essa integral para encontrar .

Passo 3

Vamos calcular a integral interna primeiro, em relação a integral0^2 kxy , dy = kx [ y^22 ]0^2 = kx ( 42 - 0 ) = 2kx :
integral0^1 2kx , dx = 2k [ x^22 ]0^1 = 2k ( 12 - 0 ) = k
Agora, integramos o resultado em relação a k = 1 :
Igualando a 1:

Passo 4

Agora que sabemos que P(x < 1/2; y < 1) = integral0^1/2 integral0^1 xy , dy , dx , vamos calcular a probabilidade . Isso significa que vamos integrar sobre de 0 a 1/2 e de 0 a 1:

Passo 5

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a integral0^1 xy , dy = x [ y^22 ]0^1 = x ( 12 - 0 ) = x2 :
integral0^1/2 x2 , dx = 12 [ x^22 ]0^1/2 = 12 ( (1/2)^22 - 0 ) = 12 ( 18 ) = 116
Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

A probabilidade é igual a .

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