Seja a
kxy,
e
. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função de densidade conjunta
onde
varia de 0 a 1 e
de 0 a 2. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de que
seja menor que 1/2 e
seja menor que 1, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de probabilidade conjunta e integrais duplas para encontrar a constante
e depois calcular a probabilidade desejada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a constante
para que
seja uma função de densidade válida. Isso significa que a integral dupla de
sobre todo o domínio deve ser igual a 1:
Vamos resolver essa integral para encontrar
.
Passo 3
Vamos calcular a integral interna primeiro, em relação a
:
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Igualando a 1:
Passo 4
Agora que sabemos que
, vamos calcular a probabilidade
. Isso significa que vamos integrar
sobre
de 0 a 1/2 e
de 0 a 1:
Passo 5
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
A probabilidade
é igual a
.