Uma amostra extraída de X sim B(n ; p) resultou em 40 sucessos e 60 fracassos. Teste H0: p=1 / 2 ; H1: p neq 1 / 2. ( alpha=5 % ).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma distribuição binomial X sim B(n; p), onde observamos 40 sucessos e 60 fracassos em uma amostra de 100 tentativas. A gente precisa testar a hipótese nula H0: p = 12 contra a hipótese alternativa H1: p neq 12, com um nível de significância de 5%. Vamos usar testes de proporção para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os parâmetros da nossa amostra:
  • Número de tentativas: n = 100
  • Número de sucessos: X = 40
  • Proporção observada: p = Xn = 40100 = 0,4

Passo 3

Sob a hipótese nula H0: p = 12, a média da distribuição binomial é mu = n cdot p = 100 cdot 12 = 50 e o desvio padrão é sigma = raizn cdot p cdot (1 - p) = raiz100 cdot 12 cdot 12 = 5.

Passo 4

Vamos padronizar a nossa estatística para usar a distribuição normal aproximada. A fórmula para o valor Z é:
Z = X - musigma = 40 - 505 = -105 = -2
Isso nos dá um valor Z de -2.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor crítico para um teste bicaudal com alpha = 5%. Dividimos o nível de significância por 2 para cada cauda, então cada lado terá 2,5%. Usando a tabela Z, o valor crítico é aproximadamente Zalpha/2 = pm1,96.

Passo 6

Comparamos o valor Z calculado com os valores críticos:
-2 < -1,96 e 2 > 1,96
Como Z = -2 está fora do intervalo entre -1,96 e 1,96, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

A prova estatística mostra que devemos rejeitar H0: p = 12 com nível de significância de 5%, indicando que a proporção de sucessos é significativamente diferente de 12.

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