Um produtor fabrica eixos para um motor de automóvel. O desgaste ( 0,0001 polegada) dos eixos depois de 100.000 milhas é de interesse, visto que é provável ter um impacto nas reivindicações de garantia. Uma amostra aleatória de eixos é testada e 2,78. Sabe-se que e que o desgaste é normalmente distribuído. Teste 3 versus , usando .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um produtor que fabrica eixos para motores de automóveis e queremos verificar o desgaste desses eixos após 100.000 milhas. O desgaste é medido em 0,0001 polegada. Queremos saber se a média do desgaste dos eixos está de acordo com a garantia oferecida. Para isso, vamos usar um teste de hipótese usando a distribuição normal, já que o desgaste é normalmente distribuído e conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese nula (H₀): A média do desgaste dos eixos é igual a 3, ou seja, .
  • Hipótese alternativa (H₁): A média do desgaste dos eixos é diferente de 3, ou seja, .
Esse será um teste bicaudal porque estamos verificando se a média é diferente, sem especificar se é maior ou menor.

Passo 3

Vamos calcular o valor do teste estatístico Z usando a fórmula:
Onde:
  • é a média da amostra.
  • é a média segundo a hipótese nula.
  • é o desvio padrão da população.
  • é o tamanho da amostra.
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, precisamos determinar os valores críticos para o nível de significância em um teste bicaudal. Para isso, consultamos a tabela da distribuição normal padrão e encontramos que os valores críticos são aproximadamente í.

Passo 5

Comparamos o valor calculado de Z com os valores críticos:
  • Se estiver entre -1,96 e 1,96, não rejeitamos a hipótese nula.
  • Se estiver fora desse intervalo, rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, está dentro do intervalo (-1,96, 1,96). Portanto, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base no teste realizado, não há evidências suficientes para rejeitar a hipótese de que a média do desgaste dos eixos é igual a 3. Portanto, a garantia permanece válida para o nível de confiança de 95%.

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