Um produtor fabrica eixos para um motor de automóvel. O desgaste ( 0,0001 polegada) dos eixos depois de 100.000 milhas é de interesse, visto que é provável ter um impacto nas reivindicações de garantia. Uma amostra aleatória de
eixos é testada e
2,78. Sabe-se que
e que o desgaste é normalmente distribuído. Teste
3 versus
, usando
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um produtor que fabrica eixos para motores de automóveis e queremos verificar o desgaste desses eixos após 100.000 milhas. O desgaste é medido em 0,0001 polegada. Queremos saber se a média do desgaste dos eixos está de acordo com a garantia oferecida. Para isso, vamos usar um teste de hipótese usando a distribuição normal, já que o desgaste é normalmente distribuído e conhecemos o desvio padrão da população.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar:
- Hipótese nula (H₀): A média do desgaste dos eixos é igual a 3, ou seja,
. - Hipótese alternativa (H₁): A média do desgaste dos eixos é diferente de 3, ou seja,
.
Esse será um teste bicaudal porque estamos verificando se a média é diferente, sem especificar se é maior ou menor.
Passo 3
Vamos calcular o valor do teste estatístico Z usando a fórmula:
Onde:
-
é a média da amostra. -
é a média segundo a hipótese nula. -
é o desvio padrão da população. -
é o tamanho da amostra.
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os valores críticos para o nível de significância
em um teste bicaudal. Para isso, consultamos a tabela da distribuição normal padrão e encontramos que os valores críticos são aproximadamente
.
Passo 5
Comparamos o valor calculado de Z com os valores críticos:
- Se
estiver entre -1,96 e 1,96, não rejeitamos a hipótese nula. - Se
estiver fora desse intervalo, rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso,
está dentro do intervalo (-1,96, 1,96). Portanto, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base no teste realizado, não há evidências suficientes para rejeitar a hipótese de que a média do desgaste dos eixos é igual a 3. Portanto, a garantia permanece válida para o nível de confiança de 95%.
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