Certa máquina empacota determinado produto, cujo peso segue uma distribuiçãoNormal, tal que,
. Responda: a) Em quanto deve ser regulado o peso médio do pacote para que apenas
tenham menos que 400 g ?; b) Qual o menor pesodentre os
que mais pesam?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma máquina que empacota produtos, e o peso de cada pacote segue uma distribuição normal, ou seja,
. Isso significa que os pesos estão distribuídos de forma simétrica em torno da média
e a variância é
. Vamos resolver duas perguntinhas:
a) Precisamos descobrir qual deve ser a média
para que apenas 5% dos pacotes tenham menos de 400 g.
b) Queremos saber qual é o menor peso entre os 20% dos pacotes que mais pesam.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a). Queremos que apenas 5% dos pacotes tenham menos de 400 g. Em termos de estatística, isso significa que 400 g está no percentil 5 da distribuição normal. Para encontrar
, precisamos usar a propriedade da distribuição normal padrão.
Sabemos que:
Onde
é o valor da distribuição normal padrão,
é o valor observado (400 g),
é a média que queremos encontrar, e
é o desvio padrão. A variância é
, então o desvio padrão
é:
Passo 3
Agora, sabemos que queremos que
. Isso corresponde ao valor crítico
que deixa 5% da área à esquerda na distribuição normal padrão. Consultando uma tabela de valores de
ou usando uma calculadora, encontramos que:
Isso significa que:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar
:
Passo 5
Então, a média
deve ser regulada para aproximadamente 432,9 g para que apenas 5% dos pacotes tenham menos de 400 g.
Passo 6
Agora, vamos para a parte b). Queremos encontrar o menor peso dentre os 20% que mais pesam. Isso significa que estamos procurando o peso que deixa 80% dos pacotes abaixo dele.
Matematicamente, queremos encontrar
tal que:
Usando a distribuição normal padrão novamente, vamos transformar isso em termos de
:
Passo 7
Consultando a tabela de valores de
para
, encontramos:
Então:
Passo 8
Resolvendo para
:
Resposta
a) A média deve ser regulada para aproximadamente 432,9 g.
b) O menor peso entre os 20% que mais pesam é 449,7 g.
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