Certa máquina empacota determinado produto, cujo peso segue uma distribuiçãoNormal, tal que, . Responda: a) Em quanto deve ser regulado o peso médio do pacote para que apenas tenham menos que 400 g ?; b) Qual o menor pesodentre os que mais pesam?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma máquina que empacota produtos, e o peso de cada pacote segue uma distribuição normal, ou seja, . Isso significa que os pesos estão distribuídos de forma simétrica em torno da média e a variância é . Vamos resolver duas perguntinhas:
a) Precisamos descobrir qual deve ser a média para que apenas 5% dos pacotes tenham menos de 400 g.
b) Queremos saber qual é o menor peso entre os 20% dos pacotes que mais pesam.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a). Queremos que apenas 5% dos pacotes tenham menos de 400 g. Em termos de estatística, isso significa que 400 g está no percentil 5 da distribuição normal. Para encontrar , precisamos usar a propriedade da distribuição normal padrão.
Sabemos que:
Onde é o valor da distribuição normal padrão, é o valor observado (400 g), é a média que queremos encontrar, e é o desvio padrão. A variância é , então o desvio padrão é:

Passo 3

Agora, sabemos que queremos que . Isso corresponde ao valor crítico que deixa 5% da área à esquerda na distribuição normal padrão. Consultando uma tabela de valores de ou usando uma calculadora, encontramos que:
Isso significa que:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar :

Passo 5

Então, a média deve ser regulada para aproximadamente 432,9 g para que apenas 5% dos pacotes tenham menos de 400 g.

Passo 6

Agora, vamos para a parte b). Queremos encontrar o menor peso dentre os 20% que mais pesam. Isso significa que estamos procurando o peso que deixa 80% dos pacotes abaixo dele.
Matematicamente, queremos encontrar tal que:
Usando a distribuição normal padrão novamente, vamos transformar isso em termos de :

Passo 7

Consultando a tabela de valores de para , encontramos:
Então:

Passo 8

Resolvendo para :

Resposta

a) A média deve ser regulada para aproximadamente 432,9 g.
b) O menor peso entre os 20% que mais pesam é 449,7 g.

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