Certa máquina empacota determinado produto, cujo peso segue uma distribuiçãoNormal, tal que, X sim N(mu ; 400 g^2). Responda: a) Em quanto deve ser regulado o peso médio do pacote para que apenas 5 % tenham menos que 400 g ?; b) Qual o menor pesodentre os 20 % que mais pesam?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma máquina que empacota produtos, e o peso de cada pacote segue uma distribuição normal, ou seja, . Isso significa que os pesos estão distribuídos de forma simétrica em torno da média e a variância é . Vamos resolver duas perguntinhas:
a) Precisamos descobrir qual deve ser a média para que apenas 5% dos pacotes tenham menos de 400 g.
b) Queremos saber qual é o menor peso entre os 20% dos pacotes que mais pesam.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a). Queremos que apenas 5% dos pacotes tenham menos de 400 g. Em termos de estatística, isso significa que 400 g está no percentil 5 da distribuição normal. Para encontrar Z = X - musigma , precisamos usar a propriedade da distribuição normal padrão.
Sabemos que:
sigma = raiz400 = 20 , g
Onde é o valor da distribuição normal padrão, é o valor observado (400 g), é a média que queremos encontrar, e é o desvio padrão. A variância é , então o desvio padrão é:

Passo 3

Agora, sabemos que queremos que Z0,05 approx -1,645 . Isso corresponde ao valor crítico 400 - mu20 = -1,645 que deixa 5% da área à esquerda na distribuição normal padrão. Consultando uma tabela de valores de ou usando uma calculadora, encontramos que:
Isso significa que:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar 400 - mu = -1,645 times 20 :
400 - mu = -32,9
mu = 400 + 32,9
mu = 432,9 , g

Passo 5

Então, a média deve ser regulada para aproximadamente 432,9 g para que apenas 5% dos pacotes tenham menos de 400 g.

Passo 6

Agora, vamos para a parte b). Queremos encontrar o menor peso dentre os 20% que mais pesam. Isso significa que estamos procurando o peso que deixa 80% dos pacotes abaixo dele.
Matematicamente, queremos encontrar P(X <= X80) = 0,80 tal que:
Z = X80 - musigma
Usando a distribuição normal padrão novamente, vamos transformar isso em termos de :

Passo 7

Consultando a tabela de valores de Z0,80 approx 0,84 para X80 - 432,920 = 0,84 , encontramos:
Então:

Passo 8

Resolvendo para X80 - 432,9 = 0,84 times 20 :
X80 - 432,9 = 16,8
X80 = 432,9 + 16,8
X80 = 449,7 , g

Resposta

a) A média deve ser regulada para aproximadamente 432,9 g.
b) O menor peso entre os 20% que mais pesam é 449,7 g.

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