Uma amostra de 3 itens é selecionada aleatoriamente, com reposição, de uma caixa contendo 20 itens, dos quais 4 são defeituosos.
(a) Calcule a função probabilidade de itens defeituosos na amostra.
(b) Calcule o número esperado de itens defeituosos na amostra.
(a) Calcule a função probabilidade de itens defeituosos na amostra.
(b) Calcule o número esperado de itens defeituosos na amostra.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma caixa com 20 itens, dos quais 4 são defeituosos. Vamos selecionar 3 itens aleatoriamente, com reposição (ou seja, após tirar um item, ele volta para a caixa antes da próxima seleção). Precisamos calcular duas coisas:
(a) A função probabilidade de termos itens defeituosos na amostra.
(b) O número esperado de itens defeituosos na amostra.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição binomial, que é perfeita para situações com ensaios independentes e duas possibilidades (sucesso ou fracasso).
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Queremos a função probabilidade de termos certos números de itens defeituosos na amostra de 3 itens.
Primeiro, identificamos a probabilidade de sucesso (tirar um item defeituoso) e a probabilidade de fracasso (tirar um item não defeituoso):
- Probabilidade de sucesso,
- Probabilidade de fracasso,
Passo 3
Como estamos tirando com reposição e cada seleção é independente, podemos usar a fórmula da distribuição binomial:
Onde:
-
(número de ensaios) -
é o número de sucessos (itens defeituosos)
Vamos calcular
para
.
Passo 4
Calculando cada caso:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 5
Então, a função probabilidade fica assim:
Passo 6
Passando para a parte (b), queremos o número esperado de itens defeituosos na amostra. Para a distribuição binomial, o valor esperado
é dado por:
Onde
e
.
Calculando:
Resposta
(a) A função probabilidade de itens defeituosos na amostra de 3 itens é:
(b) O número esperado de itens defeituosos na amostra é
.