Uma amostra de 3 itens é selecionada aleatoriamente, com reposição, de uma caixa contendo 20 itens, dos quais 4 são defeituosos.
(a) Calcule a função probabilidade de itens defeituosos na amostra.
(b) Calcule o número esperado de itens defeituosos na amostra.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma caixa com 20 itens, dos quais 4 são defeituosos. Vamos selecionar 3 itens aleatoriamente, com reposição (ou seja, após tirar um item, ele volta para a caixa antes da próxima seleção). Precisamos calcular duas coisas:
(a) A função probabilidade de termos itens defeituosos na amostra.
(b) O número esperado de itens defeituosos na amostra.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição binomial, que é perfeita para situações com ensaios independentes e duas possibilidades (sucesso ou fracasso).

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Queremos a função probabilidade de termos certos números de itens defeituosos na amostra de 3 itens.
Primeiro, identificamos a probabilidade de sucesso (tirar um item defeituoso) e a probabilidade de fracasso (tirar um item não defeituoso):
  • Probabilidade de sucesso,
  • Probabilidade de fracasso,

Passo 3

Como estamos tirando com reposição e cada seleção é independente, podemos usar a fórmula da distribuição binomial:
P(X = k) = binomnk p^k q^n - k
Onde:
  • (número de ensaios)
  • é o número de sucessos (itens defeituosos)
Vamos calcular para .

Passo 4

Calculando cada caso:
  • Para P(X = 0) = binom30 (0.2)^0 (0.8)^3 = 1 times 1 times 0.512 = 0.512 :
    P(X = 1) = binom31 (0.2)^1 (0.8)^2 = 3 times 0.2 times 0.64 = 0.384
  • Para P(X = 2) = binom32 (0.2)^2 (0.8)^1 = 3 times 0.04 times 0.8 = 0.096 :
    P(X = 3) = binom33 (0.2)^3 (0.8)^0 = 1 times 0.008 times 1 = 0.008
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Então, a função probabilidade fica assim:
P(X = 0) &= 0.512 P(X = 1) &= 0.384 P(X = 2) &= 0.096 P(X = 3) &= 0.008

Passo 6

Passando para a parte (b), queremos o número esperado de itens defeituosos na amostra. Para a distribuição binomial, o valor esperado E(X) = n times p é dado por:
E(X) = 3 times 0.2 = 0.6
Onde e .
Calculando:

Resposta

(a) A função probabilidade de itens defeituosos na amostra de 3 itens é:
P(X = 0) &= 0.512 P(X = 1) &= 0.384 P(X = 2) &= 0.096 P(X = 3) &= 0.008
(b) O número esperado de itens defeituosos na amostra é .

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