Consideremos o experimento de lançar uma moeda três vezes. Seja o número de caras que se obtém.
(a) Se, . Calcular a f.p da variável .
(b) Se, . Calcular a f.p da variável .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com probabilidade, especificamente com distribuições de probabilidade. O enunciado fala sobre lançar uma moeda três vezes e contar quantas caras (X) aparecem. A partir disso, precisamos calcular as funções de probabilidade (f.p) para duas variáveis diferentes: Y = 2X + 1 e Y = |X - 2|.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os possíveis valores de X quando lançamos uma moeda três vezes. Cada lançamento pode dar cara © ou coroa (K), e o número de caras pode ser 0, 1, 2 ou 3.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor de X. Como cada lançamento é independente e a probabilidade de dar cara é 0,5, usamos a distribuição binomial:
Para k = 0, 1, 2, 3:
  • P(X=0) = 1 * 0,125 = 0,125
  • P(X=1) = 3 * 0,125 = 0,375
  • P(X=2) = 3 * 0,125 = 0,375
  • P(X=3) = 1 * 0,125 = 0,125

Passo 4

Agora, vamos para a parte (a): Y = 2X + 1. Queremos encontrar a função de probabilidade de Y.
Primeiro, vamos identificar os possíveis valores de Y:
  • Se X = 0, Y = 2*0 + 1 = 1
  • Se X = 1, Y = 2*1 + 1 = 3
  • Se X = 2, Y = 2*2 + 1 = 5
  • Se X = 3, Y = 2*3 + 1 = 7

Passo 5

Agora, associamos as probabilidades de X aos valores de Y:
  • P(Y=1) = P(X=0) = 0,125
  • P(Y=3) = P(X=1) = 0,375
  • P(Y=5) = P(X=2) = 0,375
  • P(Y=7) = P(X=3) = 0,125

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): Y = |X - 2|. Vamos determinar os possíveis valores de Y:
  • Se X = 0, Y = |0 - 2| = 2
  • Se X = 1, Y = |1 - 2| = 1
  • Se X = 2, Y = |2 - 2| = 0
  • Se X = 3, Y = |3 - 2| = 1

Passo 7

Agora, associamos as probabilidades de X aos valores de Y:
  • P(Y=0) = P(X=2) = 0,375
  • P(Y=1) = P(X=1) + P(X=3) = 0,375 + 0,125 = 0,500
  • P(Y=2) = P(X=0) = 0,125

Resposta

(a) A função de probabilidade de Y = 2X + 1 é:
(b) A função de probabilidade de Y = |X - 2| é:

Exercícios relacionados

Uma amostra de 3 itens é selecionada aleatoriamente, com reposição, de uma caixa contendo 20 itens, dos quais 4 são defeituosos.
(a) Calcule a função probabilidade de itens defeituosos na amostra.
(b) Calcule o número esperado de itens defeituosos na amostra.
Uma caixa contém 5 bolas de gude vermelhas e 5 azuis. Duas bolas de gude são retiradas aleatoriamente. Se elas tiverem a mesma cor, você ganha ; se elas tiverem cores diferentes você ganha (isto é, você perde . Calcule
(a) O valor esperado da quantia que você ganha.
(b) A variância da quantia que você ganha.
Uma amostra de 3 itens é selecionada aleatoriamente, sem reposição, de uma caixa contendo 20 itens, dos quais 4 são defeituosos.
(a) Calcule a função probabilidade de itens defeituosos na amostra.
(b) Calcule o número esperado de itens defeituosos na amostra.