Um vendedor agendou duas visitas para vender enciclopédias. Sua primeira visita resultará em venda com probabilidade de 0,3 , e sua segunda visita resultará em venda com probabilidade de 0,6 , sendo ambas as probabilidades de venda independentes. Qualquer venda realizada tem a mesma probabilidade de ser do modelo luxo, que custa R , ou do modelo padrão que custa , ou do modelo padrão que custa . Determine a função probabilidade de 500,00, o valor total das vendas em reais. Calcule a média e a variância.

Passo 1

Vamos lá! Temos um vendedor que fez duas visitas para vender enciclopédias. A primeira visita tem uma probabilidade de 0,3 de dar venda, e a segunda, de 0,6. Cada venda pode ser de um modelo luxo que custa R$ 1000,00 ou do modelo padrão que custa R$ 500,00, com igual chance para cada modelo. Queremos descobrir a função de probabilidade de 1000,00 ou do modelo padrão que custa R, que representa o valor total das vendas em reais, além de calcular a média e a variância dessa distribuição.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de probabilidade como eventos independentes, combinações de eventos e cálculo de média e variância para variáveis aleatórias discretas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as possíveis situações que podem ocorrer durante as duas visitas do vendedor:
  1. Nenhuma venda ocorre: O vendedor não consegue vender nada nas duas visitas.
  2. Uma venda ocorre: O vendedor vende uma enciclopédia em uma das visitas.
  3. Duas vendas ocorrem: O vendedor vende uma enciclopédia em ambas as visitas.
Vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas situações.

Passo 3

1. Nenhuma venda ocorre:
  • Probabilidade de não vender na primeira visita: P(X = 0) = 0,7 times 0,4 = 0,28
  • Probabilidade de não vender na segunda visita:
Como as visitas são independentes, multiplicamos as probabilidades:

Passo 4

2. Uma venda ocorre:
Aqui, podemos ter duas situações:
  • Vende na primeira visita e não vende na segunda.
  • Não vende na primeira visita e vende na segunda.
Vamos calcular cada uma:
  • Vende na primeira e não na segunda:
P = 0,3 times 0,4 = 0,12
  • Não vende na primeira e vende na segunda:
P = 0,7 times 0,6 = 0,42
Somando as probabilidades dessas duas situações:
P(Uma venda) = 0,12 + 0,42 = 0,54
Dentro dessa situação, a venda pode ser do modelo padrão (R$ 500,00) ou luxo (R$ 1000,00), cada uma com probabilidade de 0,5.
Assim:
  • Venda de R$ 500,00:
500,00) ou luxo (R
  • Venda de R$ 1000,00:
500,00:** [ P(X = 500) = 0,54 times 0,5 = 0,27 ] - **Venda de R

Passo 5

3. Duas vendas ocorrem:
Ambas as visitas resultam em venda. A probabilidade disso é:
P(Duas vendas) = 0,3 times 0,6 = 0,18
Agora, vamos considerar os possíveis modelos vendidos nas duas vendas:
  • Ambas padrão (R$ 500,00 cada):
500,00 cada):** [ P = 0,18 times (0,5 times 0,5) = 0,18 times 0,25 = 0,045 ] [ X = 500 + 500 = 1000 ] - **Uma padrão e uma luxo (R
1000,00):** [ P = 0,18 times (2 times 0,5 times 0,5) = 0,18 times 0,5 = 0,09 ] [ X = 500 + 1000 = 1500 ] - **Ambas luxo (R
  • Uma padrão e uma luxo (R$ 500,00 + R$ 1000,00):
P = 0,18 times (0,5 times 0,5) = 0,18 times 0,25 = 0,045
X = 1000 + 1000 = 2000
  • Ambas luxo (R$ 1000,00 cada):

Passo 6

Agora, vamos resumir todas as possibilidades e suas respectivas probabilidades:
|c|c| hline Valor Total (R$) & Probabilidade hline 0 & 0,28 500 & 0,27 1000 & 0,27 + 0,045 = 0,315 1500 & 0,09 2000 & 0,045 hline
Então, a função de probabilidade de P(X) = 0 & com probabilidade 0,28 500 & com probabilidade 0,27 1000 & com probabilidade 0,315 1500 & com probabilidade 0,09 2000 & com probabilidade 0,045 fica assim:

Passo 7

Agora, vamos calcular a média (esperança) de E[X] = sum x cdot P(x) .
A média é dada por:
E[X] = 0 times 0,28 + 500 times 0,27 + 1000 times 0,315 + 1500 times 0,09 + 2000 times 0,045
Calculando:
E[X] = 0 + 135 + 315 + 135 + 90 = 675
Então, a média das vendas é R$ 675,00.

Passo 8

Para calcular a variância de Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 , usamos a fórmula:
E[X^2] = sum x^2 cdot P(x)
Primeiro, calculamos E[X^2] = 0^2 times 0,28 + 500^2 times 0,27 + 1000^2 times 0,315 + 1500^2 times 0,09 + 2000^2 times 0,045 :
E[X^2] = 0 + 250000 times 0,27 + 1000000 times 0,315 + 2250000 times 0,09 + 4000000 times 0,045
E[X^2] = 0 + 67500 + 315000 + 202500 + 180000 = 765000
Var(X) = 765000 - (675)^2 = 765000 - 455625 = 309375
Agora, calculamos a variância:
Portanto, a variância das vendas é 309.375 , R$^2.

Resposta

A função de probabilidade de P(X) = 0 & com probabilidade 0,28 500 & com probabilidade 0,27 1000 & com probabilidade 0,315 1500 & com probabilidade 0,09 2000 & com probabilidade 0,045 , o valor total das vendas, é:
675,00** e a **variância** é **309.375 , R
A média das vendas é R$ 675,00 e a variância é 309.375 , R$^2.

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