Um vendedor agendou duas visitas para vender enciclopédias. Sua primeira visita resultará em venda com probabilidade de 0,3 , e sua segunda visita resultará em venda com probabilidade de 0,6 , sendo ambas as probabilidades de venda independentes. Qualquer venda realizada tem a mesma probabilidade de ser do modelo luxo, que custa , ou do modelo padrão que custa . Determine a função probabilidade de , o valor total das vendas em reais. Calcule a média e a variância.
Passo 1
Vamos lá! Temos um vendedor que fez duas visitas para vender enciclopédias. A primeira visita tem uma probabilidade de 0,3 de dar venda, e a segunda, de 0,6. Cada venda pode ser de um modelo luxo que custa R$ 1000,00 ou do modelo padrão que custa R$ 500,00, com igual chance para cada modelo. Queremos descobrir a função de probabilidade de , que representa o valor total das vendas em reais, além de calcular a média e a variância dessa distribuição.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de probabilidade como eventos independentes, combinações de eventos e cálculo de média e variância para variáveis aleatórias discretas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as possíveis situações que podem ocorrer durante as duas visitas do vendedor:
Nenhuma venda ocorre: O vendedor não consegue vender nada nas duas visitas.
Uma venda ocorre: O vendedor vende uma enciclopédia em uma das visitas.
Duas vendas ocorrem: O vendedor vende uma enciclopédia em ambas as visitas.
Vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas situações.
Passo 3
1. Nenhuma venda ocorre:
Probabilidade de não vender na primeira visita:
Probabilidade de não vender na segunda visita:
Como as visitas são independentes, multiplicamos as probabilidades:
Passo 4
2. Uma venda ocorre:
Aqui, podemos ter duas situações:
Vende na primeira visita e não vende na segunda.
Não vende na primeira visita e vende na segunda.
Vamos calcular cada uma:
Vende na primeira e não na segunda:
Não vende na primeira e vende na segunda:
Somando as probabilidades dessas duas situações:
Dentro dessa situação, a venda pode ser do modelo padrão (R$ 500,00) ou luxo (R$ 1000,00), cada uma com probabilidade de 0,5.
Assim:
Venda de R$ 500,00:
Venda de R$ 1000,00:
Passo 5
3. Duas vendas ocorrem:
Ambas as visitas resultam em venda. A probabilidade disso é:
Agora, vamos considerar os possíveis modelos vendidos nas duas vendas:
Ambas padrão (R$ 500,00 cada):
Uma padrão e uma luxo (R$ 500,00 + R$ 1000,00):
Ambas luxo (R$ 1000,00 cada):
Passo 6
Agora, vamos resumir todas as possibilidades e suas respectivas probabilidades:
Então, a função de probabilidade de fica assim:
Passo 7
Agora, vamos calcular a média (esperança) de .
A média é dada por:
Calculando:
Então, a média das vendas é R$ 675,00.
Passo 8
Para calcular a variância de , usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos a variância:
Portanto, a variância das vendas é 309.375 , R$^2.
Resposta
A função de probabilidade de , o valor total das vendas, é:
A média das vendas é R$ 675,00 e a variância é 309.375 , R$^2.