Um vendedor agendou duas visitas para vender enciclopédias. Sua primeira visita resultará em venda com probabilidade de 0,3 , e sua segunda visita resultará em venda com probabilidade de 0,6 , sendo ambas as probabilidades de venda independentes. Qualquer venda realizada tem a mesma probabilidade de ser do modelo luxo, que custa , ou do modelo padrão que custa . Determine a função probabilidade de , o valor total das vendas em reais. Calcule a média e a variância.

Passo 1

Vamos lá! Temos um vendedor que fez duas visitas para vender enciclopédias. A primeira visita tem uma probabilidade de 0,3 de dar venda, e a segunda, de 0,6. Cada venda pode ser de um modelo luxo que custa R$ 1000,00 ou do modelo padrão que custa R$ 500,00, com igual chance para cada modelo. Queremos descobrir a função de probabilidade de , que representa o valor total das vendas em reais, além de calcular a média e a variância dessa distribuição.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de probabilidade como eventos independentes, combinações de eventos e cálculo de média e variância para variáveis aleatórias discretas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as possíveis situações que podem ocorrer durante as duas visitas do vendedor:
  1. Nenhuma venda ocorre: O vendedor não consegue vender nada nas duas visitas.
  2. Uma venda ocorre: O vendedor vende uma enciclopédia em uma das visitas.
  3. Duas vendas ocorrem: O vendedor vende uma enciclopédia em ambas as visitas.
Vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas situações.

Passo 3

1. Nenhuma venda ocorre:
  • Probabilidade de não vender na primeira visita:
  • Probabilidade de não vender na segunda visita:
Como as visitas são independentes, multiplicamos as probabilidades:

Passo 4

2. Uma venda ocorre:
Aqui, podemos ter duas situações:
  • Vende na primeira visita e não vende na segunda.
  • Não vende na primeira visita e vende na segunda.
Vamos calcular cada uma:
  • Vende na primeira e não na segunda:
  • Não vende na primeira e vende na segunda:
Somando as probabilidades dessas duas situações:
Dentro dessa situação, a venda pode ser do modelo padrão (R$ 500,00) ou luxo (R$ 1000,00), cada uma com probabilidade de 0,5.
Assim:
  • Venda de R$ 500,00:
  • Venda de R$ 1000,00:

Passo 5

3. Duas vendas ocorrem:
Ambas as visitas resultam em venda. A probabilidade disso é:
Agora, vamos considerar os possíveis modelos vendidos nas duas vendas:
  • Ambas padrão (R$ 500,00 cada):
  • Uma padrão e uma luxo (R$ 500,00 + R$ 1000,00):
  • Ambas luxo (R$ 1000,00 cada):

Passo 6

Agora, vamos resumir todas as possibilidades e suas respectivas probabilidades:
Então, a função de probabilidade de fica assim:

Passo 7

Agora, vamos calcular a média (esperança) de .
A média é dada por:
Calculando:
Então, a média das vendas é R$ 675,00.

Passo 8

Para calcular a variância de , usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos a variância:
Portanto, a variância das vendas é 309.375 , R$^2.

Resposta

A função de probabilidade de , o valor total das vendas, é:
A média das vendas é R$ 675,00 e a variância é 309.375 , R$^2.

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Determine
(a) A função de probabilidade de .
(b)
©
(d)
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