Suponha que a função acumulada de probabilidade de X seja dada por
F(x)=ccl 0, & se & x<0 x4 & se & 0 <= x<1 12+x-14 & se & 1 <= x<2 1112 & se & 2 <= x<3 1, & se & 3 <= x
(a) Determine P(X=i), i=1,2,3.
(b) Determine P(12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função acumulada de probabilidade que nos dá a probabilidade de ser menor ou igual a determinado valor . A matéria aqui envolve Funções de Distribuição Acumulada da probabilidade. Para resolver as partes (a) e (b), vamos precisar entender como extrair as probabilidades específicas de usando essa função .

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a): determinar P(X = i) = F(i) - F(i^-) para . Quando temos uma função acumulada para uma variável discreta, a probabilidade de assumir um valor específico é dada pela diferença entre e o limite de quando se aproxima de pela esquerda, ou seja:
Onde é a probabilidade acumulada logo antes de .

Passo 3

Vamos calcular F(1) = 12 + 1 - 14 = 12 :
  • Encontrar F(1^-) = 14 :
    De acordo com a função P(X = 1) = F(1) - F(1^-) = 12 - 14 = 14 , para :
  • Encontrar :
    Para se aproximando de 1 pela esquerda, usamos a parte onde :
  • Calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular F(2) = 1112 :
  • Encontrar F(2^-) = 12 + 2 - 14 = 12 + 14 = 34 :
    Segundo a função P(X = 2) = F(2) - F(2^-) = 1112 - 34 = 1112 - 912 = 212 = 16 , para :
  • Encontrar :
    Para se aproximando de 2 pela esquerda, usamos a parte onde :
  • Calcular :

Passo 5

Agora, vamos calcular F(3) = 1 :
  • Encontrar F(3^-) = 1112 :
    Pela função P(X = 3) = F(3) - F(3^-) = 1 - 1112 = 112 , para :
  • Encontrar :
    Para se aproximando de 3 pela esquerda, usamos a parte onde :
  • Calcular :

Passo 6

Agora vamos para a parte (b): determinar P(a < X < b) = F(b) - F(a) . Para isso, usamos a função acumulada para encontrar a probabilidade entre dois valores:
F(32) = 12 + 32 - 14 = 12 + 1/24 = 12 + 18 = 58
Onde F(12) = 124 = 18 e P(12 < X < 32) = F(32) - F(12) = 58 - 18 = 48 = 12 .
  • Encontrar :
    Como está entre 1 e 2:
  • Encontrar :
    Como está entre 0 e 1:
  • Calcular :

Resposta

(a) As probabilidades são:
P(X=1) = 14, P(X=2) = 16, P(X=3) = 112
(b) A probabilidade é:
P(12 < X < 32) = 12

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