Uma variável aleatória X tem a seguinte função acumulada de probabilidade:
F(x)=ccl 0, & se & x<10 0,2 & se & 10 <= x<12 0,5 & se & 12 <= x<13 0,9 & se & 13 <= x<25 1, & se & 25 <= x
Determine
(a) A função de probabilidade de X.
(b) P(X <= 12)
© P(X<12)
(d) P(12 <= X <= 20)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma variável aleatória X e sua função acumulada de probabilidade F(x). A gente vai precisar entender de funções de distribuição acumulada e função de probabilidade. Para isso, vamos precisar identificar os intervalos onde a função muda de valor e calcular as probabilidades correspondentes a cada intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a função de probabilidade de X, que também é chamada de função massa de probabilidade. Essa função mostra a probabilidade de X assumir cada valor específico. Para isso, vamos observar onde a função acumulada F(x) sofre saltos. A diferença entre os valores de F(x) nos pontos de mudança nos dá a probabilidade desses valores.

Passo 3

Observando a função acumulada:
  • De x < 10, F(x) = 0. Isso significa que a probabilidade de X ser menor que 10 é zero.
  • De 10 <= x < 12, F(x) sobe para 0,2. Então, a probabilidade de X = 10 é 0,2 - 0 = 0,2.
  • De 12 <= x < 13, F(x) sobe para 0,5. Assim, a probabilidade de X = 12 é 0,5 - 0,2 = 0,3.
  • De 13 <= x < 25, F(x) sobe para 0,9. Então, a probabilidade de X = 13 é 0,9 - 0,5 = 0,4.
  • Para x >= 25, F(x) = 1. Portanto, a probabilidade de X = 25 é 1 - 0,9 = 0,1.

Passo 4

Agora, vamos calcular P(X <= 12). Isso significa a probabilidade de X ser menor ou igual a 12. Olhando a função acumulada, vemos que F(12) = 0,5. Então, P(X <= 12) = 0,5.

Passo 5

Para encontrar P(X < 12), precisamos considerar a probabilidade de X ser estritamente menor que 12. Como P(X <= 12) = 0,5 e a probabilidade de X = 12 é 0,3, então:
P(X < 12) = P(X <= 12) - P(X = 12) = 0,5 - 0,3 = 0,2

Passo 6

Finalmente, vamos calcular P(12 <= X <= 20). Como X só assume valores específicos (10, 12, 13, 25), precisamos ver quais desses valores estão entre 12 e 20. São 12 e 13.
P(12 <= X <= 20) = P(X = 12) + P(X = 13) = 0,3 + 0,4 = 0,7

Resposta

(a) A função de probabilidade de X é:
P(X=x) = 0,2 & se x = 10 0,3 & se x = 12 0,4 & se x = 13 0,1 & se x = 25 0 & caso contrário á
(b) P(X <= 12) = 0,5
© P(X < 12) = 0,2
(d) P(12 <= X <= 20) = 0,7

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