Uma amostra de 3 itens é selecionada aleatoriamente, sem reposição, de uma caixa contendo 20 itens, dos quais 4 são defeituosos.
(a) Calcule a função probabilidade de itens defeituosos na amostra.
(b) Calcule o número esperado de itens defeituosos na amostra.

Passo 1

Vamos entender o problema: temos uma caixa com 20 itens, sendo 4 deles defeituosos. Queremos selecionar aleatoriamente 3 itens sem reposição e calcular:
a) A função de probabilidade de ter diferentes números de itens defeituosos na amostra.
b) O número esperado de itens defeituosos na amostra.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição hipergeométrica, que é ideal para situações de amostragem sem reposição.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a). A distribuição hipergeométrica nos ajuda a calcular a probabilidade de obter exatamente itens defeituosos na amostra de 3 itens.
A fórmula para a distribuição hipergeométrica é:
Onde:
  • é o total de itens.
  • é o número de itens defeituosos.
  • é o tamanho da amostra.
  • é o número de itens defeituosos na amostra (pode ser 0, 1, 2 ou 3).

Passo 3

Vamos calcular para cada valor de :
  1. Para (nenhum defeituoso):
  1. Para (um defeituoso):
  1. Para (dois defeituosos):
  1. Para (três defeituosos):

Passo 4

Agora, vamos para a parte b), onde calculamos o número esperado de itens defeituosos na amostra.
A fórmula para o valor esperado na distribuição hipergeométrica é:
Substituindo os valores:

Resposta

(a) A função de probabilidade de itens defeituosos na amostra é:
(b) O número esperado de itens defeituosos na amostra é 0,6.

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(b) Se, . Calcular a f.p da variável .
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