Uma amostra de 3 itens é selecionada aleatoriamente, sem reposição, de uma caixa contendo 20 itens, dos quais 4 são defeituosos.
(a) Calcule a função probabilidade de itens defeituosos na amostra.
(b) Calcule o número esperado de itens defeituosos na amostra.
(a) Calcule a função probabilidade de itens defeituosos na amostra.
(b) Calcule o número esperado de itens defeituosos na amostra.
Passo 1
Vamos entender o problema: temos uma caixa com 20 itens, sendo 4 deles defeituosos. Queremos selecionar aleatoriamente 3 itens sem reposição e calcular:
a) A função de probabilidade de ter diferentes números de itens defeituosos na amostra.
b) O número esperado de itens defeituosos na amostra.
b) O número esperado de itens defeituosos na amostra.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição hipergeométrica, que é ideal para situações de amostragem sem reposição.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a). A distribuição hipergeométrica nos ajuda a calcular a probabilidade de obter exatamente
itens defeituosos na amostra de 3 itens.
A fórmula para a distribuição hipergeométrica é:
Onde:
-
é o total de itens. -
é o número de itens defeituosos. -
é o tamanho da amostra. -
é o número de itens defeituosos na amostra (pode ser 0, 1, 2 ou 3).
Passo 3
Vamos calcular
para cada valor de
:
- Para
(nenhum defeituoso):
- Para
(um defeituoso):
- Para
(dois defeituosos):
- Para
(três defeituosos):
Passo 4
Agora, vamos para a parte b), onde calculamos o número esperado de itens defeituosos na amostra.
A fórmula para o valor esperado
na distribuição hipergeométrica é:
Substituindo os valores:
Resposta
(a) A função de probabilidade de itens defeituosos na amostra é:
(b) O número esperado de itens defeituosos na amostra é 0,6.
Exercícios relacionados
Uma caixa contém 5 bolas de gude vermelhas e 5 azuis. Duas bolas de gude são retiradas aleatoriamente. Se elas tiverem a mesma cor, você ganha
; se elas tiverem cores diferentes você ganha
(isto é, você perde
. Calcule
(a) O valor esperado da quantia que você ganha.
(b) A variância da quantia que você ganha.
(a) O valor esperado da quantia que você ganha.
(b) A variância da quantia que você ganha.
Consideremos o experimento de lançar uma moeda três vezes. Seja
o número de caras que se obtém.
(a) Se, . Calcular a f.p da variável
.
(b) Se, . Calcular a f.p da variável
.
(a) Se,
(b) Se,
Dizemos que uma v.a.d
, tem distribuição uniforme se
, para
. Sejam
e
uma variável aleatória discreta uniforme. Encontrar
e
.
Seja
uma variável aleatória discreta tal que
. Considere
e
. Calcule
e
.