Uma amostra de 3 itens é selecionada aleatoriamente, sem reposição, de uma caixa contendo 20 itens, dos quais 4 são defeituosos.
(a) Calcule a função probabilidade de itens defeituosos na amostra.
(b) Calcule o número esperado de itens defeituosos na amostra.

Passo 1

Vamos entender o problema: temos uma caixa com 20 itens, sendo 4 deles defeituosos. Queremos selecionar aleatoriamente 3 itens sem reposição e calcular:
a) A função de probabilidade de ter diferentes números de itens defeituosos na amostra.
b) O número esperado de itens defeituosos na amostra.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição hipergeométrica, que é ideal para situações de amostragem sem reposição.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a). A distribuição hipergeométrica nos ajuda a calcular a probabilidade de obter exatamente P(X = k) = dbinomKk dbinomN-Kn-kdbinomNn itens defeituosos na amostra de 3 itens.
A fórmula para a distribuição hipergeométrica é:
Onde:
  • é o total de itens.
  • é o número de itens defeituosos.
  • é o tamanho da amostra.
  • é o número de itens defeituosos na amostra (pode ser 0, 1, 2 ou 3).

Passo 3

Vamos calcular P(X = 0) = dbinom40 dbinom163dbinom203 = 1 times 5601140 approx 0,491 para cada valor de P(X = 1) = dbinom41 dbinom162dbinom203 = 4 times 1201140 approx 0,421 :
  1. Para P(X = 2) = dbinom42 dbinom161dbinom203 = 6 times 161140 approx 0,084 (nenhum defeituoso):
P(X = 3) = dbinom43 dbinom160dbinom203 = 4 times 11140 approx 0,0035
  1. Para (um defeituoso):
  1. Para (dois defeituosos):
  1. Para (três defeituosos):

Passo 4

Agora, vamos para a parte b), onde calculamos o número esperado de itens defeituosos na amostra.
A fórmula para o valor esperado E[X] = n times KN na distribuição hipergeométrica é:
E[X] = 3 times 420 = 3 times 0,2 = 0,6
Substituindo os valores:

Resposta

(a) A função de probabilidade de itens defeituosos na amostra é:
(b) O número esperado de itens defeituosos na amostra é 0,6.

Exercícios relacionados