Seja X: Omega 1,2, ldots, n, ldots uma variável aleatória discreta tal que P(X=n)=7(1 / 8)^n. Considere H(x)=llll29 & , se & x & par; -29 & , se & x & impar e Y= H(X). Calcule P(Y=29) e P(Y=-29).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória discreta H(x) = 29 & se x é par; -29 & se x é ímpar que pode assumir valores com probabilidade . Além disso, definimos uma função que transforma em da seguinte forma:
ééí
Nosso objetivo é calcular as probabilidades e . Para isso, vamos precisar entender como depende de e calcular as probabilidades correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar para quais valores de a função resulta em 29 e -29.
  • quando é par.
  • quando é ímpar.
Então, para encontrar , precisamos somar as probabilidades de todos os pares, e para , somar as probabilidades de todos os ímpares.

Passo 3

Vamos calcular P(Y = 29) = sumsubstackn=1 n par^infty P(X = n) = sumk=1^infty P(X = 2k) = sumk=1^infty 7 (18)^2k :
P(Y = 29) = 7 sumk=1^infty (18^2)^k = 7 sumk=1^infty (164)^k
Simplificando a expressão:

Passo 4

Reconhecemos que a soma acima é uma série geométrica infinita da forma:
sumk=1^infty r^k = r1 - r para |r| < 1
Aqui, P(Y = 29) = 7 ( 1641 - 164 ) = 7 ( 1646364 ) = 7 ( 163 ) = 763 = 19 , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular P(Y = -29) = sumsubstackn=1 n ímpar^infty P(X = n) = sumk=0^infty P(X = 2k + 1) = sumk=0^infty 7 (18)^2k + 1 :
P(Y = -29) = 7 cdot 18 sumk=0^infty (164)^k í
Podemos fatorar da soma:

Passo 6

A soma acima é também uma série geométrica infinita com sumk=0^infty (164)^k = 11 - 164 = 6463 :
P(Y = -29) = 7 cdot 18 cdot 6463 = 7 cdot 863 = 5663 = 89
Portanto:

Resposta

P(Y = 29) = 19 e P(Y = -29) = 89

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