Seja
uma variável aleatória discreta tal que
. Considere
e
. Calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória discreta
que pode assumir valores
com probabilidade
. Além disso, definimos uma função
que transforma
em
da seguinte forma:
Nosso objetivo é calcular as probabilidades
e
. Para isso, vamos precisar entender como
depende de
e calcular as probabilidades correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar para quais valores de
a função
resulta em 29 e -29.
-
quando é par. -
quando é ímpar.
Então, para encontrar
, precisamos somar as probabilidades de todos os
pares, e para
, somar as probabilidades de todos os
ímpares.
Passo 3
Vamos calcular
:
Simplificando a expressão:
Passo 4
Reconhecemos que a soma acima é uma série geométrica infinita da forma:
Aqui,
, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Podemos fatorar
da soma:
Passo 6
A soma acima é também uma série geométrica infinita com
:
Portanto: