Uma caixa contém 5 bolas de gude vermelhas e 5 azuis. Duas bolas de gude são retiradas aleatoriamente. Se elas tiverem a mesma cor, você ganha R ; se elas tiverem cores diferentes você ganha ; se elas tiverem cores diferentes você ganha (isto é, você perde 1.00. Calcule
(a) O valor esperado da quantia que você ganha.
(b) A variância da quantia que você ganha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma caixa com 5 bolas de gude vermelhas e 5 azuis. Você retira duas bolas aleatoriamente. Se elas forem da mesma cor, você ganha R 1,10; se forem de cores diferentes, você perde Rê 1,00. A gente precisa calcular duas coisas:
(a) O valor esperado da quantia que você ganha.
(b) A variância dessa quantia.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, valor esperado e variância. Precisamos calcular as probabilidades dos diferentes resultados e, a partir daí, determinar o valor esperado e a variância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender todas as possíveis combinações de duas bolas que podemos retirar. Temos 5 vermelhas e 5 azuis, totalizando 10 bolas.
O número total de maneiras de escolher 2 bolas de 10 é dado por:
binom102 = 10 times 92 times 1 = 45
Então, existem 45 combinações possíveis.

Passo 3

Agora, vamos calcular as probabilidades de cada evento:
  1. Duas bolas vermelhas:
    Número de maneiras de escolher 2 vermelhas de 5:
    binom52 = 5 times 42 times 1 = 10
  2. Duas bolas azuis:
    Número de maneiras de escolher 2 azuis de 5:
    binom52 = 10
  3. Uma vermelha e uma azul:
    Número de maneiras de escolher 1 vermelha e 1 azul:
    5 times 5 = 25

Passo 4

Agora, vamos determinar as probabilidades de cada evento:
  1. Probabilidade de duas vermelhas:
    P(duas vermelhas) = 1045 = 29
  2. Probabilidade de duas azuis:
    P(duas azuis) = 1045 = 29
  3. Probabilidade de uma vermelha e uma azul:
    P(uma vermelha e uma azul) = 2545 = 59

Passo 5

Agora, vamos identificar os valores ganhos em cada caso:
  1. Duas bolas da mesma cor (ou vermelhas ou azuis): Ganha R$ 1,10.
  2. Duas bolas de cores diferentes: Você perde R 1,10 2 **Duas bolas de cores diferentes:** Você perde R 1,00.

Passo 6

Com as probabilidades e os valores definidos, podemos calcular o valor esperado (E) da quantia ganha:
E = ( 29 times 1,10 ) + ( 29 times 1,10 ) + ( 59 times (-1,00) )
Vamos calcular cada termo:
  1. E approx 0,2444 + 0,2444 - 0,5556 approx -0,0668
Somando tudo:
Então, o valor esperado é aproximadamente -R$ 0,0668, ou seja, uma pequena perda em média por jogada.

Passo 7

Agora, vamos calcular a variância (Var) da quantia ganha. A variância nos mostra a dispersão dos possíveis ganhos em relação ao valor esperado.
Primeiro, precisamos calcular o valor esperado ao quadrado (E[X²]):
E[X²] = ( 29 times (1,10)^2 ) + ( 29 times (1,10)^2 ) + ( 59 times (-1,00)^2 ) ²
Calculando cada termo:
  1. E[X²] approx 0,2689 + 0,2689 + 0,5556 approx 1,0934
  2. Var(X) = E[X²] - (E[X])^2
  3. Var(X) approx 1,0934 - (-0,0668)^2 approx 1,0934 - 0,0045 approx 1,0889
Somando tudo:
²
Agora, a variância é dada por:
²
Substituindo os valores:

Resposta

(a) O valor esperado da quantia que você ganha é aproximadamente -R$ 0,07.
(b) A variância da quantia que você ganha é aproximadamente 1,09.

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