Uma caixa contém 5 bolas de gude vermelhas e 5 azuis. Duas bolas de gude são retiradas aleatoriamente. Se elas tiverem a mesma cor, você ganha
; se elas tiverem cores diferentes você ganha
(isto é, você perde
. Calcule
(a) O valor esperado da quantia que você ganha.
(b) A variância da quantia que você ganha.
(a) O valor esperado da quantia que você ganha.
(b) A variância da quantia que você ganha.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma caixa com 5 bolas de gude vermelhas e 5 azuis. Você retira duas bolas aleatoriamente. Se elas forem da mesma cor, você ganha R
1,00. A gente precisa calcular duas coisas:
(a) O valor esperado da quantia que você ganha.
(b) A variância dessa quantia.
(b) A variância dessa quantia.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, valor esperado e variância. Precisamos calcular as probabilidades dos diferentes resultados e, a partir daí, determinar o valor esperado e a variância.
Passo 2
Primeiro, vamos entender todas as possíveis combinações de duas bolas que podemos retirar. Temos 5 vermelhas e 5 azuis, totalizando 10 bolas.
O número total de maneiras de escolher 2 bolas de 10 é dado por:
Então, existem 45 combinações possíveis.
Passo 3
Agora, vamos calcular as probabilidades de cada evento:
-
Duas bolas vermelhas:
Número de maneiras de escolher 2 vermelhas de 5: -
Duas bolas azuis:
Número de maneiras de escolher 2 azuis de 5: -
Uma vermelha e uma azul:
Número de maneiras de escolher 1 vermelha e 1 azul:
Passo 4
Agora, vamos determinar as probabilidades de cada evento:
-
Probabilidade de duas vermelhas:
-
Probabilidade de duas azuis:
-
Probabilidade de uma vermelha e uma azul:
Passo 5
Agora, vamos identificar os valores ganhos em cada caso:
- Duas bolas da mesma cor (ou vermelhas ou azuis): Ganha R$ 1,10.
- Duas bolas de cores diferentes: Você perde R
1,00.
Passo 6
Com as probabilidades e os valores definidos, podemos calcular o valor esperado (E) da quantia ganha:
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
Então, o valor esperado é aproximadamente -R$ 0,0668, ou seja, uma pequena perda em média por jogada.
Passo 7
Agora, vamos calcular a variância (Var) da quantia ganha. A variância nos mostra a dispersão dos possíveis ganhos em relação ao valor esperado.
Primeiro, precisamos calcular o valor esperado ao quadrado (E[X²]):
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Agora, a variância é dada por:
Substituindo os valores:
Resposta
(a) O valor esperado da quantia que você ganha é aproximadamente -R$ 0,07.
(b) A variância da quantia que você ganha é aproximadamente 1,09.
Exercícios relacionados
Consideremos o experimento de lançar uma moeda três vezes. Seja
o número de caras que se obtém.
(a) Se, . Calcular a f.p da variável
.
(b) Se, . Calcular a f.p da variável
.
(a) Se,
(b) Se,
Uma amostra de 3 itens é selecionada aleatoriamente, sem reposição, de uma caixa contendo 20 itens, dos quais 4 são defeituosos.
(a) Calcule a função probabilidade de itens defeituosos na amostra.
(b) Calcule o número esperado de itens defeituosos na amostra.
(a) Calcule a função probabilidade de itens defeituosos na amostra.
(b) Calcule o número esperado de itens defeituosos na amostra.
Dizemos que uma v.a.d
, tem distribuição uniforme se
, para
. Sejam
e
uma variável aleatória discreta uniforme. Encontrar
e
.