Dizemos que uma v.a.d X: Omega x1, x2, ldots, xn, xi neq xj, tem distribuição uniforme se P(xi)=P(X=xi)=1 / n, para i=1,2, ldots, n. Sejam a, b in N ; a <= b e X: Omega a, a+1, a+2, a+3, ldots, b uma variável aleatória discreta uniforme. Encontrar E(X) e V(X).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória discreta que pode assumir os valores , e cada valor tem a mesma probabilidade (isso é o que significa ser uniforme). O que a gente precisa encontrar aqui é o Valor Esperado e a Variância dessa variável. Para isso, vamos usar as fórmulas de expectativa e variância para distribuições uniformes discretas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o Valor Esperado E(X) = a + b2 . Para uma distribuição uniforme discreta, o valor esperado é a média dos valores possíveis que pode assumir. A fórmula geral para é:
Isso porque, em uma distribuição uniforme, cada valor entre e tem a mesma chance de acontecer, então a média é simplesmente a média aritmética de e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a Variância V(X) = (b - a + 1)^2 - 112 . A variância mede o quanto os valores de variam em torno do valor esperado. Para uma distribuição uniforme discreta, a variância é dada por:
Explicando melhor, a fórmula leva em conta o número de valores que pode assumir ( ) e ajusta isso para calcular a dispersão dos valores em relação à média.

Resposta

Portanto, para a variável aleatória E(X) = a + b2 uniforme discreta definida de V(X) = (b - a + 1)^2 - 112 a :

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