Uma amostra piloto com 12 elementos tem-se média de 6,7 e desvio padrão de 1,7. Qual deve ser o tamanho da amostra para que a semi-amplitude do intervalo de
de confiança da média populacional não seja superior a 0,8 .
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma amostra piloto com 12 elementos, média de 6,7 e desvio padrão de 1,7. Precisamos descobrir qual o tamanho da amostra necessária para que a semi-amplitude do intervalo de confiança de 99,5% para a média da população seja no máximo 0,8.
Aqui, vamos usar conceitos de estatística inferencial, especificamente intervalos de confiança para a média. Precisaremos entender como calcular o tamanho da amostra baseado na margem de erro desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um intervalo de confiança. É um intervalo dentro do qual esperamos que a verdadeira média da população esteja, com uma certa confiança (nesse caso, 99,5%). A semi-amplitude é metade da amplitude total desse intervalo e representa a margem de erro (E).
A fórmula para calcular a margem de erro quando queremos determinar o tamanho da amostra é:
Onde:
-
é a margem de erro desejada (0,8). -
é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado. -
é o desvio padrão da população (que vamos estimar com o desvio padrão da amostra, 1,7). -
é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar
. Para isso, vamos reorganizar a fórmula para isolarmos
:
Agora, precisamos encontrar o valor crítico
para um intervalo de confiança de 99,5%.
Passo 4
Para um intervalo de confiança de 99,5%, a área nas duas extremidades da distribuição normal é
(ou 0,5%). Assim, cada cauda terá
(0,25%).
Consultando uma tabela de valores da distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos que:
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula do tamanho da amostra:
Vamos calcular isso passo a passo.
Primeiro, multiplicamos
por
:
Em seguida, dividimos esse resultado por
:
Por fim, elevamos ao quadrado:
Resposta
O tamanho da amostra necessário é de 36 elementos.