Uma amostra piloto com 12 elementos tem-se média de 6,7 e desvio padrão de 1,7. Qual deve ser o tamanho da amostra para que a semi-amplitude do intervalo de 99,5 % de confiança da média populacional não seja superior a 0,8 .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma amostra piloto com 12 elementos, média de 6,7 e desvio padrão de 1,7. Precisamos descobrir qual o tamanho da amostra necessária para que a semi-amplitude do intervalo de confiança de 99,5% para a média da população seja no máximo 0,8.
Aqui, vamos usar conceitos de estatística inferencial, especificamente intervalos de confiança para a média. Precisaremos entender como calcular o tamanho da amostra baseado na margem de erro desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um intervalo de confiança. É um intervalo dentro do qual esperamos que a verdadeira média da população esteja, com uma certa confiança (nesse caso, 99,5%). A semi-amplitude é metade da amplitude total desse intervalo e representa a margem de erro (E).
A fórmula para calcular a margem de erro quando queremos determinar o tamanho da amostra é:
E = Zalpha2 times sigmaraizn
Onde:
  • é a margem de erro desejada (0,8).
  • é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado.
  • é o desvio padrão da população (que vamos estimar com o desvio padrão da amostra, 1,7).
  • é o tamanho da amostra que queremos encontrar.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar n = ( Zalpha2 times sigmaE )^2 . Para isso, vamos reorganizar a fórmula para isolarmos :
Agora, precisamos encontrar o valor crítico para um intervalo de confiança de 99,5%.

Passo 4

Para um intervalo de confiança de 99,5%, a área nas duas extremidades da distribuição normal é Zalpha2 approx 2,807 (ou 0,5%). Assim, cada cauda terá (0,25%).
Consultando uma tabela de valores da distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos que:

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do tamanho da amostra:
n = ( 2,807 times 1,70,8 )^2
Vamos calcular isso passo a passo.
Primeiro, multiplicamos 2,807 times 1,7 = 4,772 por 4,7720,8 = 5,965 :
n = (5,965)^2 approx 35,58
Em seguida, dividimos esse resultado por :
Por fim, elevamos ao quadrado:

Resposta

O tamanho da amostra necessário é de 36 elementos.

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