Calcular o estimador intervalar para a média populacional com confiança de 95 % para a seguinte amostra, com variância populacional desconhecida:
ccccccccccc 19,8 & 18,5 & 17,6 & 16,7 & 15,8 & 15,4 & 14,1 & 13,6 & 11,9 & 11,4 & 11,4 8,8 & 7,5 & 15,4 & 15,4 & 19,5 & 14,9 & 12,7 & 11,9 & 11,4 & 10,1 & 7,9

Passo 1

Vamos resumir o que a pergunta está pedindo: a gente precisa calcular um intervalo de confiança de 95% para a média da população, usando uma amostra onde não conhecemos a variância da população. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média da amostra, a variância da amostra e usar a distribuição t de Student, que é apropriada quando a variância populacional é desconhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra ( barx = 19,8 + 18,5 + 17,6 + 16,7 + 15,8 + 15,4 + 14,1 + 13,6 + 11,9 + 11,4 + 11,4 + 8,8 + 7,5 + 15,4 + 15,4 + 19,5 + 14,9 + 12,7 + 11,9 + 11,4 + 10,1 + 7,922 ). A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Vamos somar todos os números da amostra e dividir pelo total de elementos.
Soma = 19,8 + 18,5 + 17,6 + 16,7 + 15,8 + 15,4 + 14,1 + 13,6 + 11,9 + 11,4 + 11,4 + 8,8 + 7,5 + 15,4 + 15,4 + 19,5 + 14,9 + 12,7 + 11,9 + 11,4 + 10,1 + 7,9 = 261,3
Calculando a soma:
barx = 261,322 approx 11,878
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra ( s^2 = sum (xi - barx)^2n - 1 ). Primeiro, precisamos calcular a variância da amostra ( (19,8 - 11,878)^2 approx 63,01 ), que é a soma dos quadrados das diferenças entre cada valor e a média, dividida pelo número de observações menos um.
(18,5 - 11,878)^2 approx 43,28
Vamos calcular cada vdots :
(7,9 - 11,878)^2 approx 15,84
s^2 approx 21 approx 17,5
s approx raiz17,5 approx 4,18
Somando todos esses valores e dividindo por (pois ):
Então,

Passo 4

Agora que temos a média da amostra ( barx pm talpha/2, , df times sraizn ) e o desvio padrão da amostra ( ), vamos usar a distribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança. A fórmula para o intervalo de confiança é:
Onde:
  • é o valor crítico da distribuição t para um nível de confiança de 95% e
  • é o desvio padrão da amostra
  • é o tamanho da amostra
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que para 95% de confiança e 21 graus de liberdade, .

Passo 5

Vamos agora calcular o erro padrão da média ( 4,18raiz22 approx 4,184,69 approx 0,89 ):
2,080 times 0,89 approx 1,85
Multiplicando pelo valor crítico t:

Resposta

Portanto, o intervalo de confiança de 95% para a média populacional é aproximadamente:
11,878 pm 1,85 implies (10,028 , a , 13,728)
Isso significa que temos 95% de confiança de que a verdadeira média da população está entre 10,028 e 13,728.

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