Suponha que as companhias de seguros tenham feito uma pesquisa. Eles pesquisaram aleatoriamente 400 motoristas e descobriram que 320 alegaram sempre usar o cinto de segurança. Estamos interessados na proporção populacional de motoristas que afirmam sempre usar o cinto de segurança.
(a) Defina as Variáveis Aleatórias e P , em palavras.
(b) Qual distribuição você deve usar para este problema? Explique sua escolha.
© Construa um intervalo de confiança de para a proporção populacional que afirma sempre usar o cinto de segurança.
(d) Se esta pesquisa fosse feita por telefone, liste 3 dificuldades que as empresas poderiam ter para obter resultados aleatórios.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma pesquisa feita por companhias de seguros que entrevistou 400 motoristas, e desses, 320 disseram que sempre usam o cinto de segurança. Queremos descobrir qual é a proporção real de motoristas que afirmam sempre usar o cinto. Isso entra no tema de Probabilidade e Estatística, mais especificamente na parte que lida com variáveis aleatórias e proporções populacionais. Para resolver isso, vamos precisar definir algumas variáveis e entender como elas se comportam.

Passo 2

Agora, vamos para a primeira parte da questão:
(a) Defina as Variáveis Aleatórias e , em palavras.
Aqui, precisamos identificar duas coisas:
  • : Geralmente, em estatística, usamos para representar uma variável aleatória discreta. Nesse caso, vai representar o número de motoristas que afirmam sempre usar o cinto de segurança na nossa amostra.
  • : Essa é a proporção populacional que queremos estimar. Ou seja, é a fração de todos os motoristas que, de verdade, sempre usam o cinto de segurança.
Então, em palavras:
  • : O número de motoristas, na amostra de 400, que afirmam sempre usar o cinto de segurança.
  • : A proporção verdadeira de todos os motoristas que sempre usam o cinto de segurança.

Passo 3

Seguimos para a segunda parte:
(b) Qual distribuição você deve usar para este problema? Explique sua escolha.
Como estamos lidando com a proporção de sucesso em uma amostra fixa (400 motoristas) e cada motorista tem duas opções: usa ou não usa o cinto sempre, a distribuição adequada aqui é a Distribuição Binomial.
A distribuição binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, 400 motoristas), cada uma com dois resultados possíveis (usar ou não o cinto), e queremos saber a probabilidade de um certo número de sucessos (motoristas que usam o cinto).
Além disso, para facilitar os cálculos, especialmente quando o tamanho da amostra é grande, podemos aproximar a distribuição binomial pela Distribuição Normal, usando o Teorema Central do Limite, desde que as condições de normalidade sejam atendidas (o que geralmente acontece quando é grande e não está muito perto de 0 ou 1).

Passo 4

Agora, vamos para a terceira parte:
© Construa um intervalo de confiança de para a proporção populacional que afirma sempre usar o cinto de segurança.
Primeiro, precisamos calcular a proporção observada na amostra:
Agora, para construir o intervalo de confiança, usamos a fórmula:
Onde:
  • é o valor crítico para 95% de confiança. Para 95%,
Calculando o erro padrão:
Agora, multiplicamos pelo valor crítico:
Finalmente, construímos o intervalo:
Isso dá:
Então, o intervalo de confiança de 95% para a proporção populacional está entre aproximadamente 76,08% e 83,92%.

Passo 5

Por fim, a quarta parte:
(d) Se esta pesquisa fosse feita por telefone, liste 3 dificuldades que as empresas poderiam ter para obter resultados aleatórios.
  1. Acesso Limitado: Nem todos os motoristas têm telefone fixo ou estão disponíveis para atender chamadas, o que pode levar a uma amostra não representativa.
  2. Viés de Auto-seleção: Pessoas que estão disponíveis e dispostas a responder ao telefone podem ter características diferentes da população geral, como horários de trabalho ou interesse em participar de pesquisas.
  3. Dificuldades em Garantir a Aleatoriedade: É mais complicado selecionar participantes totalmente ao acaso por telefone, já que listas telefônicas podem não incluir todos os segmentos da população ou podem ter números desatualizados.

Resposta

Resumindo:
(a)
  • : Número de motoristas na amostra que sempre usam o cinto de segurança.
  • : Proporção verdadeira de todos os motoristas que sempre usam o cinto de segurança.
(b)
Usamos a Distribuição Binomial, porque lidamos com um número fixo de tentativas (400 motoristas) e cada tentativa tem dois resultados possíveis (usar ou não o cinto). Para facilitar, podemos aproximar pela Distribuição Normal.
©
O intervalo de confiança de 95% para a proporção populacional é entre aproximadamente 76,08% e 83,92%.
(d)
  1. Acesso limitado a todos os motoristas por telefone.
  2. Viés de auto-seleção dos que atendem chamadas.
  3. Dificuldade em garantir a verdadeira aleatoriedade na seleção dos participantes.

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