Suponha que as companhias de seguros tenham feito uma pesquisa. Eles pesquisaram aleatoriamente 400 motoristas e descobriram que 320 alegaram sempre usar o cinto de segurança. Estamos interessados na proporção populacional de motoristas que afirmam sempre usar o cinto de segurança.
(a) Defina as Variáveis Aleatórias
e P , em palavras.
(b) Qual distribuição você deve usar para este problema? Explique sua escolha.
© Construa um intervalo de confiança de
para a proporção populacional que afirma sempre usar o cinto de segurança.
(d) Se esta pesquisa fosse feita por telefone, liste 3 dificuldades que as empresas poderiam ter para obter resultados aleatórios.
(a) Defina as Variáveis Aleatórias
(b) Qual distribuição você deve usar para este problema? Explique sua escolha.
© Construa um intervalo de confiança de
(d) Se esta pesquisa fosse feita por telefone, liste 3 dificuldades que as empresas poderiam ter para obter resultados aleatórios.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma pesquisa feita por companhias de seguros que entrevistou 400 motoristas, e desses, 320 disseram que sempre usam o cinto de segurança. Queremos descobrir qual é a proporção real de motoristas que afirmam sempre usar o cinto. Isso entra no tema de Probabilidade e Estatística, mais especificamente na parte que lida com variáveis aleatórias e proporções populacionais. Para resolver isso, vamos precisar definir algumas variáveis e entender como elas se comportam.
Passo 2
Agora, vamos para a primeira parte da questão:
(a) Defina as Variáveis Aleatórias
e
, em palavras.
Aqui, precisamos identificar duas coisas:
-
: Geralmente, em estatística, usamos para representar uma variável aleatória discreta. Nesse caso, vai representar o número de motoristas que afirmam sempre usar o cinto de segurança na nossa amostra. -
: Essa é a proporção populacional que queremos estimar. Ou seja, é a fração de todos os motoristas que, de verdade, sempre usam o cinto de segurança.
Então, em palavras:
-
: O número de motoristas, na amostra de 400, que afirmam sempre usar o cinto de segurança. -
: A proporção verdadeira de todos os motoristas que sempre usam o cinto de segurança.
Passo 3
Seguimos para a segunda parte:
(b) Qual distribuição você deve usar para este problema? Explique sua escolha.
Como estamos lidando com a proporção de sucesso em uma amostra fixa (400 motoristas) e cada motorista tem duas opções: usa ou não usa o cinto sempre, a distribuição adequada aqui é a Distribuição Binomial.
A distribuição binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, 400 motoristas), cada uma com dois resultados possíveis (usar ou não o cinto), e queremos saber a probabilidade de um certo número de sucessos (motoristas que usam o cinto).
Além disso, para facilitar os cálculos, especialmente quando o tamanho da amostra é grande, podemos aproximar a distribuição binomial pela Distribuição Normal, usando o Teorema Central do Limite, desde que as condições de normalidade sejam atendidas (o que geralmente acontece quando
é grande e
não está muito perto de 0 ou 1).
Passo 4
Agora, vamos para a terceira parte:
© Construa um intervalo de confiança de
para a proporção populacional que afirma sempre usar o cinto de segurança.
Primeiro, precisamos calcular a proporção observada na amostra:
Agora, para construir o intervalo de confiança, usamos a fórmula:
Onde:
-
-
-
é o valor crítico para 95% de confiança. Para 95%,
Calculando o erro padrão:
Agora, multiplicamos pelo valor crítico:
Finalmente, construímos o intervalo:
Isso dá:
Então, o intervalo de confiança de 95% para a proporção populacional está entre aproximadamente 76,08% e 83,92%.
Passo 5
Por fim, a quarta parte:
(d) Se esta pesquisa fosse feita por telefone, liste 3 dificuldades que as empresas poderiam ter para obter resultados aleatórios.
-
Acesso Limitado: Nem todos os motoristas têm telefone fixo ou estão disponíveis para atender chamadas, o que pode levar a uma amostra não representativa.
-
Viés de Auto-seleção: Pessoas que estão disponíveis e dispostas a responder ao telefone podem ter características diferentes da população geral, como horários de trabalho ou interesse em participar de pesquisas.
-
Dificuldades em Garantir a Aleatoriedade: É mais complicado selecionar participantes totalmente ao acaso por telefone, já que listas telefônicas podem não incluir todos os segmentos da população ou podem ter números desatualizados.
Resposta
Resumindo:
(a)
-
: Número de motoristas na amostra que sempre usam o cinto de segurança. -
: Proporção verdadeira de todos os motoristas que sempre usam o cinto de segurança.
(b)
Usamos a Distribuição Binomial, porque lidamos com um número fixo de tentativas (400 motoristas) e cada tentativa tem dois resultados possíveis (usar ou não o cinto). Para facilitar, podemos aproximar pela Distribuição Normal.
Usamos a Distribuição Binomial, porque lidamos com um número fixo de tentativas (400 motoristas) e cada tentativa tem dois resultados possíveis (usar ou não o cinto). Para facilitar, podemos aproximar pela Distribuição Normal.
©
O intervalo de confiança de 95% para a proporção populacional é entre aproximadamente 76,08% e 83,92%.
O intervalo de confiança de 95% para a proporção populacional é entre aproximadamente 76,08% e 83,92%.
(d)
- Acesso limitado a todos os motoristas por telefone.
- Viés de auto-seleção dos que atendem chamadas.
- Dificuldade em garantir a verdadeira aleatoriedade na seleção dos participantes.
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