Qual deve ser o tamanho da amostra para que o intervalo com 99,5 % de confiança para a média populacional tenha uma semi amplitude não superior a 1,5 ? Sabe-se que a variância populacional é de 23

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir qual o tamanho da amostra necessário para que o intervalo de confiança da média populacional, com 99,5% de confiança, tenha uma semi-amplitude máxima de 1,5. Para isso, vamos usar conceitos de estatística, mais especificamente de intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o intervalo de confiança para a média é dado por:
barx pm z times sigmaraizn
Aqui:
  • barx é a média da amostra.
  • z é o valor crítico que corresponde ao nível de confiança.
  • sigma é o desvio padrão da população.
  • n é o tamanho da amostra.
A semi-amplitude do intervalo de confiança é a parte após o pm, ou seja, z times sigmaraizn. Queremos que isso seja no máximo 1,5.

Passo 3

Vamos reorganizar a fórmula para encontrar n:
z times sigmaraizn <= 1,5
Primeiro, vamos isolar raizn:
raizn >= z times sigma1,5
Agora, elevando ao quadrado para resolver para n:
n >= (z times sigma1,5)^2

Passo 4

Precisamos encontrar o valor de z correspondente ao nível de confiança de 99,5%. Esse valor pode ser encontrado na tabela da distribuição normal padrão. Para 99,5% de confiança, z approx 2,807.
Sabemos que a variância populacional é 23, então o desvio padrão sigma é:
sigma = raiz23 approx 4,796

Passo 5

Agora, substituindo os valores na fórmula:
n >= (2,807 times 4,7961,5)^2
Calculando passo a passo:
  1. Multiplicando z e sigma:
2,807 times 4,796 approx 13,488
  1. Dividindo pelo erro máximo permitido (1,5):
13,4881,5 approx 8,992
  1. Elevando ao quadrado:
(8,992)^2 approx 80,86

Resposta

Portanto, o tamanho da amostra necessário é de 81 indivíduals.

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