Qual deve ser o tamanho da amostra para que o intervalo com
de confiança para a média populacional tenha uma semi amplitude não superior a 1,5 ? Sabe-se que a variância populacional é de 23
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir qual o tamanho da amostra necessário para que o intervalo de confiança da média populacional, com 99,5% de confiança, tenha uma semi-amplitude máxima de 1,5. Para isso, vamos usar conceitos de estatística, mais especificamente de intervalo de confiança.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o intervalo de confiança para a média é dado por:
Aqui:
-
é a média da amostra. -
é o valor crítico que corresponde ao nível de confiança. -
é o desvio padrão da população. -
é o tamanho da amostra.
A semi-amplitude do intervalo de confiança é a parte após o
, ou seja,
. Queremos que isso seja no máximo 1,5.
Passo 3
Vamos reorganizar a fórmula para encontrar
:
Primeiro, vamos isolar
:
Agora, elevando ao quadrado para resolver para
:
Passo 4
Precisamos encontrar o valor de
correspondente ao nível de confiança de 99,5%. Esse valor pode ser encontrado na tabela da distribuição normal padrão. Para 99,5% de confiança,
.
Sabemos que a variância populacional é 23, então o desvio padrão
é:
Passo 5
Agora, substituindo os valores na fórmula:
Calculando passo a passo:
- Multiplicando
e :
- Dividindo pelo erro máximo permitido (1,5):
- Elevando ao quadrado:
Resposta
Portanto, o tamanho da amostra necessário é de 81 indivíduals.
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