Uma amostra de quatro valores da variável aleatória
, com distribuição normal, apresentou os valores 4, 8, 4 e 4.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício nos apresenta. Temos uma amostra de quatro valores da variável aleatória $ X $, que segue uma distribuição normal. Os valores observados são: 4, 8, 4 e 4. Nosso objetivo aqui é calcular alguns parâmetros importantes dessa amostra, como a média e o desvio padrão, que nos ajudarão a entender melhor a distribuição dos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média ($ \bar{X} $) da amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Ela nos dá uma ideia do valor central dos dados.
Onde:
- $ \sum X_i $ é a soma de todos os valores da amostra.
- $ n $ é o número total de observações.
Passo 3
Vamos somar os valores da amostra:
Agora, dividimos essa soma pelo número de observações (4):
Então, a média da amostra é 5.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o desvio padrão ($ s $) da amostra. O desvio padrão mede a dispersão dos dados em relação à média. Um desvio padrão baixo indica que os valores estão próximos da média, enquanto um alto indica maior dispersão.
A fórmula para o desvio padrão da amostra é:
Onde:
- $ X_i $ são os valores individuais da amostra.
- $ \bar{X} $ é a média da amostra.
- $ n $ é o número de observações.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular cada uma das diferenças entre os valores da amostra e a média, e depois elevar ao quadrado:
Agora, somamos esses valores:
Passo 6
Agora, dividimos essa soma pelo número de observações menos um ($ n - 1 = 4 - 1 = 3 $):
Em seguida, tiramos a raiz quadrada desse resultado para encontrar o desvio padrão:
Então, o desvio padrão da amostra é 2.
Resposta
A média da amostra é 5 e o desvio padrão é 2.