Uma amostra de quatro valores da variável aleatória X, com distribuição normal, apresentou os valores 4, 8, 4 e 4.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício nos apresenta. Temos uma amostra de quatro valores da variável aleatória $ X $, que segue uma distribuição normal. Os valores observados são: 4, 8, 4 e 4. Nosso objetivo aqui é calcular alguns parâmetros importantes dessa amostra, como a média e o desvio padrão, que nos ajudarão a entender melhor a distribuição dos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média ($ \bar{X} $) da amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Ela nos dá uma ideia do valor central dos dados.
barX
Onde:
  • $ \sum X_i $ é a soma de todos os valores da amostra.
  • $ n $ é o número total de observações.

Passo 3

Vamos somar os valores da amostra:
sum Xi = 4 + 8 + 4 + 4 = 20
Agora, dividimos essa soma pelo número de observações (4):
barX = 204 = 5
Então, a média da amostra é 5.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o desvio padrão ($ s $) da amostra. O desvio padrão mede a dispersão dos dados em relação à média. Um desvio padrão baixo indica que os valores estão próximos da média, enquanto um alto indica maior dispersão.
A fórmula para o desvio padrão da amostra é:
s
Onde:
  • $ X_i $ são os valores individuais da amostra.
  • $ \bar{X} $ é a média da amostra.
  • $ n $ é o número de observações.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular cada uma das diferenças entre os valores da amostra e a média, e depois elevar ao quadrado:
(4 - 5)^2 &= (-1)^2 = 1 (8 - 5)^2 &= 3^2 = 9 (4 - 5)^2 &= (-1)^2 = 1 (4 - 5)^2 &= (-1)^2 = 1
Agora, somamos esses valores:
sum (Xi - barX)^2 = 1 + 9 + 1 + 1 = 12

Passo 6

Agora, dividimos essa soma pelo número de observações menos um ($ n - 1 = 4 - 1 = 3 $):
n - 1 = 4 - 1 = 3
Em seguida, tiramos a raiz quadrada desse resultado para encontrar o desvio padrão:
123 = 4
Então, o desvio padrão da amostra é 2.

Resposta

A média da amostra é 5 e o desvio padrão é 2.

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