Para testar a hipótese de que a proporção
de analfabetos em certa população é igual a 0,5
, vamos proceder um teste bilateral, ao nível de significância de aproximadamente 6%. Suponha que dispomos de uma amostra aleatória de cinco pessoas. Delimite a região de rejeição, ou seja, se o número de
é o número de analfabetos na amostra, determine para que valores de X rejeitamos
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de estatística onde precisamos testar a hipótese de que a proporção de analfabetos em uma população é igual a 0,5. Isso é conhecido como um teste de hipóteses. Neste caso, vamos realizar um teste bilateral com um nível de significância de aproximadamente 6%. Temos uma amostra aleatória de 5 pessoas e precisamos determinar para quais valores de $ X $ (número de analfabetos na amostra) vamos rejeitar a hipótese inicial $ H_0: p = 0,5 $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que estamos lidando com uma distribuição binomial. Isso porque temos um número fixo de tentativas (5 pessoas), cada tentativa tem dois resultados possíveis (analfabeto ou não), e a probabilidade de sucesso (ser analfabeto) é constante em cada tentativa, que no caso é $ p = 0,5 $.
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
- $ n = 5 $ é o número de tentativas.
- $ k $ é o número de sucessos (número de analfabetos).
- $ p = 0,5 $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
Passo 3
Como estamos realizando um teste bilateral, queremos verificar se a proporção de analfabetos é significativamente diferente de 0,5 para valores muito baixos ou muito altos de $ X $. O nível de significância é de 6%, então vamos dividir esse valor igualmente para as duas caudas da distribuição: 3% para a parte muito baixa e 3% para a parte muito alta.
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ X $ que correspondem a essas 3% em cada extremidade. Vamos calcular as probabilidades para cada possível valor de $ X $ (de 0 a 5) usando a fórmula da distribuição binomial.
Passo 5
Calculando as probabilidades:
Passo 6
Agora, vamos identificar quais valores de $ X $ têm probabilidades menores ou iguais a 3% (0,03). Observando os cálculos:
- $ P(X = 0) = 0,03125 $ ≈ 3%
- $ P(X = 5) = 0,03125 $ ≈ 3%
Esses são os únicos valores que atendem ao critério de serem menores ou iguais a 3%.
Resposta
Rejeitamos $ H_0 $ se o número de analfabetos na amostra for igual a 0 ou a 5. Ou seja, rejeitamos $ H_0 $ para $ X = 0 $ ou $ X = 5 $.