Para testar a hipótese de que a proporção (p) de analfabetos em certa população é igual a 0,5 (H0: p=0,5), vamos proceder um teste bilateral, ao nível de significância de aproximadamente 6%. Suponha que dispomos de uma amostra aleatória de cinco pessoas. Delimite a região de rejeição, ou seja, se o número de X é o número de analfabetos na amostra, determine para que valores de X rejeitamos H0.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de estatística onde precisamos testar a hipótese de que a proporção de analfabetos em uma população é igual a 0,5. Isso é conhecido como um teste de hipóteses. Neste caso, vamos realizar um teste bilateral com um nível de significância de aproximadamente 6%. Temos uma amostra aleatória de 5 pessoas e precisamos determinar para quais valores de $ X $ (número de analfabetos na amostra) vamos rejeitar a hipótese inicial $ H_0: p = 0,5 $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que estamos lidando com uma distribuição binomial. Isso porque temos um número fixo de tentativas (5 pessoas), cada tentativa tem dois resultados possíveis (analfabeto ou não), e a probabilidade de sucesso (ser analfabeto) é constante em cada tentativa, que no caso é $ p = 0,5 $.
A fórmula da distribuição binomial é:
p = 0,5
Onde:
  • $ n = 5 $ é o número de tentativas.
  • $ k $ é o número de sucessos (número de analfabetos).
  • $ p = 0,5 $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.

Passo 3

Como estamos realizando um teste bilateral, queremos verificar se a proporção de analfabetos é significativamente diferente de 0,5 para valores muito baixos ou muito altos de $ X $. O nível de significância é de 6%, então vamos dividir esse valor igualmente para as duas caudas da distribuição: 3% para a parte muito baixa e 3% para a parte muito alta.

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar os valores de $ X $ que correspondem a essas 3% em cada extremidade. Vamos calcular as probabilidades para cada possível valor de $ X $ (de 0 a 5) usando a fórmula da distribuição binomial.

Passo 5

Calculando as probabilidades:
P(X = 0) &= binom50 (0,5)^0 (0,5)^5 = 1 times 1 times 0,03125 = 0,03125 P(X = 1) &= binom51 (0,5)^1 (0,5)^4 = 5 times 0,5 times 0,0625 = 0,15625 P(X = 2) &= binom52 (0,5)^2 (0,5)^3 = 10 times 0,25 times 0,125 = 0,3125 P(X = 3) &= binom53 (0,5)^3 (0,5)^2 = 10 times 0,125 times 0,25 = 0,3125 P(X = 4) &= binom54 (0,5)^4 (0,5)^1 = 5 times 0,0625 times 0,5 = 0,15625 P(X = 5) &= binom55 (0,5)^5 (0,5)^0 = 1 times 0,03125 times 1 = 0,03125

Passo 6

Agora, vamos identificar quais valores de $ X $ têm probabilidades menores ou iguais a 3% (0,03). Observando os cálculos:
  • $ P(X = 0) = 0,03125 $ ≈ 3%
  • $ P(X = 5) = 0,03125 $ ≈ 3%
Esses são os únicos valores que atendem ao critério de serem menores ou iguais a 3%.

Resposta

Rejeitamos $ H_0 $ se o número de analfabetos na amostra for igual a 0 ou a 5. Ou seja, rejeitamos $ H_0 $ para $ X = 0 $ ou $ X = 5 $.

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