Uma amostra de tamanho 20 de uma população normal produz média 32,8 e desvio padrão amostral de 4,51 . Construa um intervalo de de confiança para a média populacional.

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que o problema nos deu e o que precisamos fazer. Temos uma amostra de tamanho 20 de uma população que segue uma distribuição normal. A média da amostra é 32,8 e o desvio padrão amostral é 4,51. Nosso objetivo é construir um intervalo de confiança de 90% para a média dessa população.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística inferencial, especificamente a construção de intervalos de confiança para a média populacional quando o desvio padrão populacional não é conhecido. Usaremos a distribuição de Student, já que o tamanho da amostra é pequeno (menor que 30).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que temos:
  • Média amostral ( ): 32,8
  • Desvio padrão amostral ( ): 4,51
  • Tamanho da amostra ( ): 20
  • Nível de confiança: 90%

Passo 3

Como estamos trabalhando com uma média e não conhecemos o desvio padrão da população, usamos a distribuição de Student. O próximo passo é encontrar o valor crítico correspondente ao nível de confiança de 90% e aos graus de liberdade da nossa amostra.
Os graus de liberdade ( ) são calculados como , então:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de (já que 90% de confiança significa que e para cada extremidade da distribuição). Consultando uma tabela de distribuição ou usando uma calculadora estatística, encontramos:

Passo 5

Com o valor crítico , podemos calcular o erro padrão da média ( ):
Vamos calcular isso:
Então,

Passo 6

Agora, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo o erro da média amostral:
Substituindo os valores:
Calculando:

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para a média populacional é de aproximadamente a .

Exercícios relacionados

Uma máquina automática de suco industrial é regulada de modo que a quantidade suprida de cada vez, tenha distribuição aproximadamente normal com desvio-padrão de 35 ml . Determine um intervalo de de confiança para a quantidade média de toda produção, sabendo que uma amostra de 30 embalagens teve um conteúdo médio de 290 ml .
Medidas do batimento cardíaco de uma amostra de 10 estudantes do sexo masculino indicaram média e desvio padrão batidas por minuto. Queremos estimar um intervalo de de confiança para a média populacional (população de onde se retirou a amostra).
a) Qual o nível de confiança para o intervalo ?
Variável N Média EP da média DP Variância Soma
X 10 0,507 1,605 251,848
b) Encontre um intervalo de confiança de 95% para a média da população.