Uma amostra de tamanho 20 de uma população normal produz média 32,8 e desvio padrão amostral de 4,51 . Construa um intervalo de 90 % de confiança para a média populacional.

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que o problema nos deu e o que precisamos fazer. Temos uma amostra de tamanho 20 de uma população que segue uma distribuição normal. A média da amostra é 32,8 e o desvio padrão amostral é 4,51. Nosso objetivo é construir um intervalo de confiança de 90% para a média dessa população.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística inferencial, especificamente a construção de intervalos de confiança para a média populacional quando o desvio padrão populacional não é conhecido. Usaremos a distribuição t de Student, já que o tamanho da amostra é pequeno (menor que 30).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que temos:
  • Média amostral ( barx): 32,8
  • Desvio padrão amostral ( s): 4,51
  • Tamanho da amostra ( n): 20
  • Nível de confiança: 90%

Passo 3

Como estamos trabalhando com uma média e não conhecemos o desvio padrão da população, usamos a distribuição t de Student. O próximo passo é encontrar o valor crítico talpha/2 correspondente ao nível de confiança de 90% e aos graus de liberdade da nossa amostra.
Os graus de liberdade ( df) são calculados como n - 1, então:
df = 20 - 1 = 19

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de t0,05 (já que 90% de confiança significa que alpha = 0,10 e alpha/2 = 0,05 para cada extremidade da distribuição). Consultando uma tabela de distribuição t ou usando uma calculadora estatística, encontramos:
t0,05, 19 approx 1,729

Passo 5

Com o valor crítico t, podemos calcular o erro padrão da média ( E):
E = talpha/2 times sraizn = 1,729 times 4,51raiz20
Vamos calcular isso:
raiz20 approx 4,472
Então,
E = 1,729 times 4,514,472 approx 1,729 times 1,008 approx 1,741

Passo 6

Agora, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo o erro E da média amostral:
barx - E <= mu <= barx + E
Substituindo os valores:
32,8 - 1,741 <= mu <= 32,8 + 1,741
Calculando:
31,059 <= mu <= 34,541

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para a média populacional é de aproximadamente 31,06 a 34,54.

Exercícios relacionados