Uma amostra de tamanho 20 de uma população normal produz média 32,8 e desvio padrão amostral de 4,51 . Construa um intervalo de
de confiança para a média populacional.
Passo 1
Então, vamos começar resumindo o que o problema nos deu e o que precisamos fazer. Temos uma amostra de tamanho 20 de uma população que segue uma distribuição normal. A média da amostra é 32,8 e o desvio padrão amostral é 4,51. Nosso objetivo é construir um intervalo de confiança de 90% para a média dessa população.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística inferencial, especificamente a construção de intervalos de confiança para a média populacional quando o desvio padrão populacional não é conhecido. Usaremos a distribuição
de Student, já que o tamanho da amostra é pequeno (menor que 30).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores que temos:
- Média amostral (
): 32,8 - Desvio padrão amostral (
): 4,51 - Tamanho da amostra (
): 20 - Nível de confiança: 90%
Passo 3
Como estamos trabalhando com uma média e não conhecemos o desvio padrão da população, usamos a distribuição
de Student. O próximo passo é encontrar o valor crítico
correspondente ao nível de confiança de 90% e aos graus de liberdade da nossa amostra.
Os graus de liberdade (
) são calculados como
, então:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor de
(já que 90% de confiança significa que
e
para cada extremidade da distribuição). Consultando uma tabela de distribuição
ou usando uma calculadora estatística, encontramos:
Passo 5
Com o valor crítico
, podemos calcular o erro padrão da média (
):
Vamos calcular isso:
Então,
Passo 6
Agora, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo o erro
da média amostral:
Substituindo os valores:
Calculando:
Resposta
O intervalo de confiança de 90% para a média populacional é de aproximadamente
a
.
Exercícios relacionados
Uma máquina automática de suco industrial é regulada de modo que a quantidade suprida de cada vez, tenha distribuição aproximadamente normal com desvio-padrão de 35 ml . Determine um intervalo de
de confiança para a quantidade média de toda produção, sabendo que uma amostra de 30 embalagens teve um conteúdo médio de 290 ml .
Medidas do batimento cardíaco de uma amostra de 10 estudantes do sexo masculino indicaram média
e desvio padrão
batidas por minuto. Queremos estimar um intervalo de
de confiança para a média populacional (população de onde se retirou a amostra).
a) Qual o nível de confiança para o intervalo
?
Variável | N | Média | EP da média | DP | Variância | Soma |
---|---|---|---|---|---|---|
X | 10 |
|
0,507 | 1,605 |
|
251,848 |
b) Encontre um intervalo de confiança de 95% para a média da população.