Analisar se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira. Caso seja falsa, apresente um contraexemplo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente analisar se a afirmação é verdadeira para todos os valores de e . Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra, especificamente sobre frações e equações. Vamos precisar manipular a equação para ver se ela sempre se mantém verdadeira ou se encontramos algum caso onde ela não funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar resolver a equação para ver se ela é válida para todos os e . Vamos começar multiplicando ambos os lados da igualdade por para eliminar as frações:
Simplificando:
Então:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa equação para ver se conseguimos encontrar uma relação entre e :
Podemos fatorar a expressão adicionando e subtraindo 1:

Passo 4

A equação nos mostra que a afirmação original só é verdadeira quando o produto é igual a 1. Isso significa que nem todo par de valores e vai satisfazer a igualdade original. Ou seja, a afirmação não é verdadeira para todos os e .

Passo 5

Para confirmar que a afirmação é falsa em geral, vamos encontrar um contraexemplo onde a igualdade não se mantém. Vamos escolher e :
Substituindo na afirmação original:
Ok, aqui deu certo. Vamos tentar outro conjunto de valores, por exemplo, e :

Resposta

A afirmação não é verdadeira para todos os valores de e . Um contraexemplo é e , onde a igualdade não se sustenta.

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