Analisar se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira. Caso seja falsa, apresente um contraexemplo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente analisar se a afirmação
é verdadeira para todos os valores de
e
. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra, especificamente sobre frações e equações. Vamos precisar manipular a equação para ver se ela sempre se mantém verdadeira ou se encontramos algum caso onde ela não funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar resolver a equação para ver se ela é válida para todos os
e
. Vamos começar multiplicando ambos os lados da igualdade por
para eliminar as frações:
Simplificando:
Então:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar essa equação para ver se conseguimos encontrar uma relação entre
e
:
Podemos fatorar a expressão adicionando e subtraindo 1:
Passo 4
A equação
nos mostra que a afirmação original só é verdadeira quando o produto
é igual a 1. Isso significa que nem todo par de valores
e
vai satisfazer a igualdade original. Ou seja, a afirmação não é verdadeira para todos os
e
.
Passo 5
Para confirmar que a afirmação é falsa em geral, vamos encontrar um contraexemplo onde a igualdade não se mantém. Vamos escolher
e
:
Substituindo na afirmação original:
Ok, aqui deu certo. Vamos tentar outro conjunto de valores, por exemplo,
e
:
Resposta
A afirmação
não é verdadeira para todos os valores de
e
. Um contraexemplo é
e
, onde a igualdade não se sustenta.