Analise as afirmaçōes abaixo, assinale V para as verdadeiras, F para as falsas e justifique suas escolhas.
2.5 b. V Se F(c)=0 nntáo a função f tem um máximo ou minimo local em c. \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1
d. (<) Se f'(c) = 0 e f''(c) > 0 entao f tem um minimo local em c.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão que você trouxe. Estamos analisando duas afirmações sobre funções e seus extremos locais (máximos e mínimos). O conteúdo principal aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente os testes de derivadas para determinar a existência de extremos locais em um ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significam as primeiras e segundas derivadas de uma função e como elas ajudam a identificar esses extremos.

Passo 2

Analisando a afirmação b:
“Se então a função não tem um máximo ou mínimo local em .”
Primeiro, precisamos esclarecer o que significa . Geralmente, em cálculo, usamos para representar a primeira derivada de em . Supondo que , a afirmação diz que se a primeira derivada em é zero, então não tem um extremo local em .
Teoria Aplicada:
A condição é conhecida como condição necessária para que tenha um extremo local em . Isso significa que a derivada primeira igual a zero é necessária, mas não suficiente para garantir a existência de um máximo ou mínimo local. Ou seja, apenas saber que não nos diz se existe realmente um extremo ali.
Conclusão:
A afirmação de que implica que não há máximo ou mínimo local em é falsa, porque é apenas uma condição necessária, mas não impede a existência de um extremo.

Passo 3

Analisando a afirmação d:
“Se e então tem um mínimo local em .”
Aqui, temos duas condições:
  1. : A primeira derivada é zero.
  2. : A segunda derivada é positiva.
Teoria Aplicada:
Esse é o famoso Teste da Segunda Derivada. Ele nos ajuda a determinar se o ponto onde a primeira derivada é zero é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão.
  • Se e , então tem um mínimo local em .
  • Se e , então tem um máximo local em .
  • Se e , o teste é inconclusivo.
Conclusão:
Dado que e , podemos afirmar com segurança, usando o teste da segunda derivada, que possui um mínimo local em . Portanto, a afirmação é verdadeira.

Resposta

b. F: A condição não impede a existência de um máximo ou mínimo local em .
d. V: Se e , então tem um mínimo local em .

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