Analise as afirmaçōes abaixo, assinale V para as verdadeiras, F para as falsas e justifique suas escolhas.
2.5 b.
Se
nntáo a função
tem um máximo ou minimo local em
.
d. (<) Se
e
entao
tem um minimo local em
.
2.5 b.
d. (<) Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão que você trouxe. Estamos analisando duas afirmações sobre funções e seus extremos locais (máximos e mínimos). O conteúdo principal aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente os testes de derivadas para determinar a existência de extremos locais em um ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significam as primeiras e segundas derivadas de uma função e como elas ajudam a identificar esses extremos.
Passo 2
Analisando a afirmação b:
“Se
então a função
não tem um máximo ou mínimo local em
.”
Primeiro, precisamos esclarecer o que significa
. Geralmente, em cálculo, usamos
para representar a primeira derivada de
em
. Supondo que
, a afirmação diz que se a primeira derivada em
é zero, então
não tem um extremo local em
.
Teoria Aplicada:
A condição
é conhecida como condição necessária para que
tenha um extremo local em
. Isso significa que a derivada primeira igual a zero é necessária, mas não suficiente para garantir a existência de um máximo ou mínimo local. Ou seja, apenas saber que
não nos diz se existe realmente um extremo ali.
Conclusão:
A afirmação de que
implica que não há máximo ou mínimo local em
é falsa, porque
é apenas uma condição necessária, mas não impede a existência de um extremo.
Passo 3
Analisando a afirmação d:
“Se
e
então
tem um mínimo local em
.”
Aqui, temos duas condições:
-
: A primeira derivada é zero. -
: A segunda derivada é positiva.
Teoria Aplicada:
Esse é o famoso Teste da Segunda Derivada. Ele nos ajuda a determinar se o ponto onde a primeira derivada é zero é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão.
- Se
e , então tem um mínimo local em . - Se
e , então tem um máximo local em . - Se
e , o teste é inconclusivo.
Conclusão:
Dado que
e
, podemos afirmar com segurança, usando o teste da segunda derivada, que
possui um mínimo local em
. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Resposta
b. F: A condição
não impede a existência de um máximo ou mínimo local em
.
d. V: Se
e
, então
tem um mínimo local em
.
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, determine:
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Os pontos criticos e classifique-os em maximos e minimos.
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