Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(o) A série é convergente e sua soma é igual a .
Passo 1
Beleza, vamos analisar a afirmação que diz que a série é convergente e que a sua soma é igual a . Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas e verificar se a série converge mesmo. Se convergir, vamos calcular a soma dela.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. Temos:
Vamos reescrever cada parte:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, observamos que a série é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante.
Numa série geométrica da forma :
é o primeiro termo.
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso:
Passo 4
Para uma série geométrica convergir, é necessário que o módulo da razão seja menor que 1, ou seja, .
No nosso caso:
Então, a série converge.
Passo 5
Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular a sua soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Substituindo os valores que encontramos:
S = 41 - 49 = 459 = 4 times 95 = 365
Resposta
A afirmação é verdadeira. A série é convergente e sua soma é igual a .