Seja
dada por:
Encontre os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
Passo 1
Beleza, temos a função
. A questão pede para encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão dessa função. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função e aonde ela muda de concava para convexa (ou vice-versa), que são os pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A derivada nos dá a taxa de variação da função.
Usando a regra do produto para
, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada. A segunda derivada nos ajudará a determinar a concavidade da função.
Aplicando novamente a regra do produto:
Passo 4
Para encontrar os intervalos de concavidade, precisamos analisar o sinal da segunda derivada
.
Como
, o termo
é sempre positivo. Então, o sinal de
depende de
.
Vamos resolver
:
Passo 5
Agora, vamos dividir a linha dos números em dois intervalos com base no valor
:
Vamos verificar o sinal de
em cada intervalo:
-
Para
: é negativo porque . Então,. Logo,. A função é côncava para baixo neste intervalo. -
Para
: é maior que . Então,. Logo,. A função é côncava para cima neste intervalo.
Passo 6
O ponto onde a concavidade muda é o ponto de inflexão. Encontramos que isso ocorre quando
.
Para achar a coordenada y desse ponto, substituímos
na função original:
Calculando:
Resposta
A função
é côncava para baixo no intervalo
e côncava para cima no intervalo
. Além disso, há um ponto de inflexão em
.
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Uma equipe de pesquisadores deseja estudar as condições de vida dos habitantes dos 15000 domicílios de uma cidade-dormitório. Devido a dificuldade de pesquisar todos os domicílios, a equipe optou por selecionar aleatoriamente 36 domicílios. Uma das variáveis de interesse, no estudo em questão, era o número de pessoas que residem em cada domicílio. Para os domicílios selecionados, obteve-se as seguintes informações sobre o número de residentes em cada domicílio:
5 | 6 | 3 | 3 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
4 | 3 | 2 | 7 | 4 | 3 | 4 | 2 | 1 |
5 | 4 | 4 | 3 | 3 | 4 | 3 | 3 | 1 |
2 | 4 | 3 | 4 | 2 | 4 | 5 | 3 | 5 |
b) Qual o estimador utilizado e sua distribuição de amostragem ? É necessário que a variável número de residentes em cada domicílio tenha distribuição normal? Justifique sua resposta.
Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(o) A série é convergente e sua soma é igual a
.
(o) A série
Esboce a região de integração e calcule a integral trocando a ordem de integração: