Esboce a região de integração e calcule a integral trocando a ordem de integração:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral dupla que precisamos resolver trocando a ordem de integração. Primeiro, vamos entender o que a integral representa: estamos integrando a função
na região onde
varia de 0 a 1 e, para cada
,
varia de até
. Vamos precisar saber sobre integrais duplas e como mudar a ordem de integração para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região de integração no plano
. Temos
indo de 0 a 1. Para cada
,
começa em e vai até
.
Então, no gráfico:
- Eixo
: de 0 a 1. - Eixo
: de a .
A curva é equivalente a . Portanto, a região está abaixo da curva , entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos trocar a ordem de integração. Para isso, precisamos reescrever os limites de
e
.
Originalmente:
-
de 0 a 1. - Para cada
, de a .
Ao trocar:
-
vai de 0 a . - Para cada
, vai de 0 a .
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Como a função integranda não depende de
, a integração em
é simples:
Passo 5
Agora, nossa integral reduz-se a:
Podemos simplificar a expressão multiplicando :
Passo 6
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Rearranjando:
Passo 7
Substituindo na integral:
Integrando
em relação a
:
Passo 8
Voltando para a variável original:
Agora, avaliamos de 0 a
:
Passo 9
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
O valor da integral é:
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Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
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.
(o) A série
Seja
dada por:
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(f)
(f)