Esboce a região de integração e calcule a integral trocando a ordem de integração:
integral0^1 integralarcsen y^pi / 2 cos x raiz1+cos ^2 x d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral dupla que precisamos resolver trocando a ordem de integração. Primeiro, vamos entender o que a integral representa: estamos integrando a função na região onde varia de 0 a 1 e, para cada , varia de até . Vamos precisar saber sobre integrais duplas e como mudar a ordem de integração para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração no plano . Temos indo de 0 a 1. Para cada , começa em e vai até .
Então, no gráfico:
  • Eixo : de 0 a 1.
  • Eixo : de a .
A curva é equivalente a . Portanto, a região está abaixo da curva , entre e .

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem de integração. Para isso, precisamos reescrever os limites de integral0^pi2 integral0^sen x cos x raiz1+cos^2x , dy , dx e .
Originalmente:
  • de 0 a 1.
  • Para cada , de a .
Ao trocar:
  • vai de 0 a .
  • Para cada , vai de 0 a .
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^sen x cos x raiz1+cos^2x , dy :
Como a função integranda não depende de cos x raiz1+cos^2x cdot y |0^sen x = cos x raiz1+cos^2x cdot sen x , a integração em é simples:

Passo 5

Agora, nossa integral reduz-se a:
Podemos simplificar a expressão multiplicando :

Passo 6

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja dudx = -2cos x sen x . Então, a derivada de - 12 du = cos x sen x , dx em relação a é:
Rearranjando:

Passo 7

Substituindo na integral:
Integrando integral cos x sen x raiz1+cos^2x , dx = -12 integral raizu , du em relação a -12 cdot 23 u^3/2 + C = -13 u^3/2 + C :

Passo 8

Voltando para a variável original:
-13 (1 + cos^2x)^3/2 + C
Agora, avaliamos de 0 a [ -13 (1 + cos^2x)^3/2 ]0^pi2 :

Passo 9

Calculando nos limites:
Para cos(pi2) = 0 Rightarrow (1 + 0)^3/2 = 1 :
cos(0) = 1 Rightarrow (1 + 1)^3/2 = 2^3/2 = 2raiz2
Para -13(1) + 13(2raiz2) = 2raiz2 - 13 :
Então:

Resposta

O valor da integral é:
2raiz2 - 13

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