Utilize o método do fator integrante para determinar uma solução geral para as EDO d y/d x - 2 x y = x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear: . A gente vai usar o método do fator integrante, que é uma técnica bacana pra resolver esse tipo de equação. Pra isso, vamos precisar lembrar como achar o fator integrante e aplicar ele na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação numa forma padrão. A equação está no formato:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante . Ele é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Com o fator integrante em mãos, multiplicamos toda a equação original por :
Isso transforma a equação numa forma onde o lado esquerdo é a derivada de .

Passo 5

A equação agora fica:
Agora, vamos integrar os dois lados em relação a :
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente .

Passo 6

Vamos resolver a integral do lado direito:
Fazendo uma substituição , temos , ou seja, . Então:

Passo 7

Voltando à equação integrada:
Agora, vamos resolver para dividindo tudo por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Esboce a região de integração e calcule a integral trocando a ordem de integração:
integral0^1 integralarcsen y^pi / 2 cos x raiz1+cos ^2 x d x d y
Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(o) A série sumn=1^infty 2^2 n 9^1-n é convergente e sua soma é igual a 365.
Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(f) sumn=1^infty |sen(n)|2^n
Utilize o método das variáveis separáveis para obter a solução geral das EDO y' + y^3 cos(x) = 0