Utilize o método do fator integrante para determinar uma solução geral para as EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear:
. A gente vai usar o método do fator integrante, que é uma técnica bacana pra resolver esse tipo de equação. Pra isso, vamos precisar lembrar como achar o fator integrante e aplicar ele na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação numa forma padrão. A equação está no formato:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
. Ele é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Com o fator integrante em mãos, multiplicamos toda a equação original por
:
Isso transforma a equação numa forma onde o lado esquerdo é a derivada de
.
Passo 5
A equação agora fica:
Agora, vamos integrar os dois lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente
.
Passo 6
Vamos resolver a integral do lado direito:
Fazendo uma substituição
, temos
, ou seja,
. Então:
Passo 7
Voltando à equação integrada:
Agora, vamos resolver para
dividindo tudo por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Esboce a região de integração e calcule a integral trocando a ordem de integração:
Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(o) A série é convergente e sua soma é igual a
.
(o) A série
Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(f)
(f)
Utilize o método das variáveis separáveis para obter a solução geral das EDO