A análise de uma amostra aleatória que consiste em 20 espécimes de aço tratado a frio para determinar a resistência média. Assumindo que as duas distribuições de resistência de rendimento sejam normais com desvio padrões iguais, os dados indicam que a resistência média real do aço tratado a frio é diferente da do aço galvanizado? Faça um teste de hipóteses usando o nível de significância de 5 % e considerando que o resultado do p-valor foi de 0,005.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a análise de uma amostra de 20 pedaços de aço tratado a frio para descobrir qual é a resistência média desse aço. A gente precisa usar teste de hipótese, um assunto da estatística que ajuda a decidir se uma suposição sobre um parâmetro (como a média) é verdadeira ou não. Vamos usar o nível de significância de 5% e já temos um p-valor de 0,005 para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos montar as hipóteses que queremos testar. No teste de hipótese, temos duas hipóteses principais:
  • Hipótese Nula (H₀): Afirma que não há diferença na resistência média entre o aço tratado a frio e o aço galvanizado. Ou seja, a resistência média do aço tratado a frio é igual à do aço galvanizado.
  • Hipótese Alternativa (H₁): Afirma que existe uma diferença na resistência média entre os dois tipos de aço. Ou seja, a resistência média do aço tratado a frio é diferente da do aço galvanizado.
Matematicamente, fica assim:
H₀: mufrio = mugalvanizado
H₁: mufrio neq mugalvanizado

Passo 3

Agora, precisamos decidir qual teste estatístico usar. Como estamos comparando a média de duas amostras e assumimos que as duas populações seguem uma distribuição normal com desvios padrão iguais, o teste apropriado é o Teste t de Student para duas amostras com variâncias iguais.
A fórmula para o teste t nesse caso é:
t = (barX1 - barX2)sp raiz1n1 + 1n2
Onde:
  • barX1 e barX2 são as médias das amostras.
  • sp é a variância combinada.
  • n1 e n2 são os tamanhos das amostras.
Mas como já temos o p-valor, não precisamos calcular o t.

Passo 4

Com o p-valor de 0,005 e um nível de significância ( alpha) de 5% (0,05), vamos comparar os dois:
p-valor = 0,005 < alpha = 0,05
Quando o p-valor é menor que o nível de significância, rejeitamos a hipótese nula.

Passo 5

Como o p-valor (0,005) é menor que 0,05, rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que há evidências estatísticas suficientes para afirmar que existe uma diferença significativa na resistência média entre o aço tratado a frio e o aço galvanizado.

Resposta

Sim, há evidências suficientes para concluir que a resistência média do aço tratado a frio é diferente da do aço galvanizado ao nível de significância de 5%.

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