Analise a continuidade de f no ponto P=(0,0).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente analisar a continuidade da função no ponto . Vamos trabalhar com o conceito de continuidade em funções de duas variáveis e precisaríamos calcular o limite de quando se aproxima de para ver se ele é igual ao valor de nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Para uma função ser contínua no ponto , o limite de quando se aproxima de deve ser igual ao valor de . Em fórmula, isso é:
Então, precisamos verificar se:

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Dependendo de como a função está definida, podemos usar diferentes caminhos para determinar esse limite. Se o limite for o mesmo independente do caminho escolhido, então o limite existe e iguala-se ao valor de , garantindo a continuidade. Se os limites diferirem com base no caminho, a função não é contínua no ponto.

Passo 4

Assumindo que a função é dada por alguma expressão específica, como por exemplo:
Vamos calcular o limite dessa função quando .

Passo 5

Um método comum é avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos. Vamos tentar dois caminhos diferentes:
  1. Caminho :
    Substituindo na função:
    Então, .
  2. Caminho :
    Substituindo na função:
    Então, .

Passo 6

Observamos que os limites ao longo dos dois caminhos escolhidos são diferentes: um é e o outro é . Isso significa que o limite de quando não é único.

Passo 7

Como o limite depende do caminho escolhido e não existe um único valor para o limite, concluímos que:
ã

Resposta

A função não é contínua no ponto porque o limite de quando se aproxima de não existe.

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