Analise a continuidade de
no ponto
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente analisar a continuidade da função
no ponto
. Vamos trabalhar com o conceito de continuidade em funções de duas variáveis e precisaríamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
para ver se ele é igual ao valor de
nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Para uma função
ser contínua no ponto
, o limite de
quando
se aproxima de
deve ser igual ao valor de
. Em fórmula, isso é:
Então, precisamos verificar se:
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Dependendo de como a função
está definida, podemos usar diferentes caminhos para determinar esse limite. Se o limite for o mesmo independente do caminho escolhido, então o limite existe e iguala-se ao valor de
, garantindo a continuidade. Se os limites diferirem com base no caminho, a função não é contínua no ponto.
Passo 4
Assumindo que a função
é dada por alguma expressão específica, como por exemplo:
Vamos calcular o limite dessa função quando
.
Passo 5
Um método comum é avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos. Vamos tentar dois caminhos diferentes:
-
Caminho
: Substituindona função: Então,. -
Caminho
: Substituindona função: Então,.
Passo 6
Observamos que os limites ao longo dos dois caminhos escolhidos são diferentes: um é
e o outro é
. Isso significa que o limite de
quando
não é único.
Passo 7
Como o limite depende do caminho escolhido e não existe um único valor para o limite, concluímos que:
Resposta
A função
não é contínua no ponto
porque o limite de
quando
se aproxima de
não existe.