Determine e represente o domínio no plano cartesiano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar e representar o domínio da função
Isso significa que vamos descobrir para quais valores de e a função está bem definida. Para isso, vamos precisar entender dois pontos principais:
A expressão dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque não dá para tirar a raiz de um número negativo.
O denominador da fração não pode ser zero, porque divisão por zero não está definida.
Então, vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte da raiz quadrada, que é . Para que essa raiz seja válida, o que está dentro dela deve ser não negativo:
Isso significa que:
Então, já sabemos que tem que ser pelo menos -2 para a função existir.
Passo 3
Agora, vamos pensar no denominador da função:
O denominador não pode ser zero, então precisamos encontrar quando essa expressão é igual a zero e excluir esses pontos do domínio.
Primeiro, vamos tentar simplificar essa express��o para entender melhor. Podemos completar o quadrado para e para :
Para :
Para :
Substituindo de volta na expressão original:
Então, o denominador fica:
Queremos que isso não seja igual a zero:
Essa é a equação de um círculo com centro em e raio 2. Então, o denominador é zero apenas nos pontos que estão exatamente nesse círculo. Isso significa que todos os pontos fora desse círculo são válidos para o domínio.
Passo 4
Resumindo:
para a raiz quadrada ser válida.
para o denominador não ser zero.
Então, o domínio da função é todos os pontos no plano cartesiano onde e que não estão no círculo de raio 2 com centro em .
Resposta
Portanto, o domínio da função é o conjunto de todos os pares tais que e . No plano cartesiano, isso corresponde à região acima ou sobre a linha , excluindo os pontos que estão exatamente na circunferência do círculo com centro em e raio 2.