(b) Identifique e represente no plano cartesiano, as curvas de nível da funçāo
f(x, y) = x^2 + y^2, (x, y) em R^2
para os valores de nível: c=1, c=4 e c=9.

Passo 1

Vamos resolver um exercício que pede para identificar e desenhar no plano cartesiano as curvas de nível da função para os valores , e . Aqui, vamos usar o conceito de curvas de nível, que são curvas onde a função assume sempre o mesmo valor . Para isso, precisamos entender como transformar a equação da função em equações que representem essas curvas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis , uma curva de nível é o conjunto de todos os pontos que satisfazem , onde é uma constante. No nosso caso, isso significa que para cada valor de , temos uma equação que representa a curva de nível correspondente.

Passo 3

Agora, vamos analisar as equações resultantes para cada valor de :
  1. Para :
    Essa é a equação de um círculo com raio igual a e centro na origem .
  2. Para :
    Aqui, temos outro círculo, mas com raio e também centrado na origem.
  3. Para :
    Novamente, um círculo com raio e centro na origem.

Passo 4

Vamos representar essas curvas no plano cartesiano:
  • Desenhe três círculos concêntricos (com o mesmo centro) na origem.
  • O primeiro círculo tem raio 1, o segundo raio 2 e o terceiro raio 3.
  • Cada círculo representa a curva de nível para , e respectivamente.

Resposta

As curvas de nível da função para , e são círculos concentricos com centro na origem e raios iguais a 1, 2 e 3, respectivamente.

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