Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a continuidade da função definida por partes abaixo:
Aqui, o assunto é continuidade de funções, que estuda se uma função não tem “quebras” no seu gráfico. Para resolver isso, vamos verificar se a função é contínua em todos os pontos do seu domínio, especialmente em , onde a definição muda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
  1. existe: O valor da função em está definido.
  2. existe: O limite da função quando se aproxima de existe.
  3. : O limite é igual ao valor da função no ponto.
Vamos aplicar isso na nossa função, especialmente em .

Passo 3

Primeiro, verificamos . Pela definição da função:
Então, o valor da função em existe.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Sabemos que porque o seno de um valor próximo a zero também se aproxima de zero. Portanto:

Passo 5

Comparando o limite com o valor da função em :
Como , a terceira condição para continuidade não é satisfeita.

Resposta

A função não é contínua em porque o limite quando se aproxima de zero é diferente do valor da função nesse ponto.

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