Calcule:
lim x pi2 cos xx-pi2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x pi2 cos xx-pi2
Esse exercício tá na área de Cálculo, mais especificamente sobre limites. A gente vai precisar entender como calcular limites onde tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos cos(pi2) = 0 e pi2 - pi2 = 0 por diretamente na expressão:
Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que a gente precisa usar uma técnica pra resolver isso. A técnica que vamos usar é a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se o limite dá uma forma Derivada do numerador: ddx(cos x) = -sin x ou Derivada do denominador: ddx(x - pi2) = 1 , a gente pode derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas. Vamos derivar:

Passo 4

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite fica:
lim x pi2 -sin x1
Isso simplifica pra:
- sin(pi2)

Passo 5

Sabemos que:
sin(pi2) = 1
Então, o limite é:
-1

Resposta

lim x pi2 cos xx-pi2 = -1

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