Analise a convergência das seguintes séries:
d) sumn=1^infty(-1)^n n^3n^4+1 [Converge, teste da série alternada]

Passo 1

Então, a gente tem a série e precisamos descobrir se ela converge ou não. Vamos usar o Teste da Série Alternada para resolver isso. Esse teste é útil para séries que têm termos que mudam de sinal alternadamente, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série do tipo converge se três condições forem atendidas:
  1. Os termos são sempre positivos.
  2. A sequência é decrescente.
  3. O limite de quando vai para o infinito é zero.

Passo 3

Agora, vamos identificar qual é o nosso an = n^3n^4+1 na série que estamos analisando. Na nossa série, temos:
Vamos verificar se esse termo satisfaz as três condições do teste.

Passo 4

Condição 1: an = n^3n^4+1 para todo .
Como e são sempre positivos para , é positivo. Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 5

Condição 2: n^3n^4+1 = 1n + 1n^3 é decrescente.
Vamos analisar se diminui conforme aumenta. Observando:
À medida que aumenta, o denominador também aumenta, fazendo com que diminua. Assim, é uma sequência decrescente.

Passo 6

Condição 3: limn to infty n^3n^4+1 = limn to infty 1n + 1n^3 = 0 .
Calculando o limite:
Então, o limite de quando tende ao infinito é zero.

Resposta

Como todas as três condições do Teste da Série Alternada foram satisfeitas, a série converge.

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