Analise a convergência das seguintes séries:
d)
[Converge, teste da série alternada]
d)
Passo 1
Então, a gente tem a série
e precisamos descobrir se ela converge ou não. Vamos usar o Teste da Série Alternada para resolver isso. Esse teste é útil para séries que têm termos que mudam de sinal alternadamente, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série do tipo
converge se três condições forem atendidas:
- Os termos
são sempre positivos. - A sequência
é decrescente. - O limite de
quando vai para o infinito é zero.
Passo 3
Agora, vamos identificar qual é o nosso
na série que estamos analisando. Na nossa série, temos:
Vamos verificar se esse termo satisfaz as três condições do teste.
Passo 4
Condição 1:
para todo
.
Como
e
são sempre positivos para
,
é positivo. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 5
Condição 2:
é decrescente.
Vamos analisar se diminui conforme
aumenta. Observando:
Vamos analisar se
À medida que
aumenta, o denominador
também aumenta, fazendo com que
diminua. Assim,
é uma sequência decrescente.
Passo 6
Condição 3:
.
Calculando o limite:
Calculando o limite:
Então, o limite de
quando
tende ao infinito é zero.
Resposta
Como todas as três condições do Teste da Série Alternada foram satisfeitas, a série
converge.
Exercícios relacionados
Utilize o teorema do divergente para calcular a integral de superficie
em que
e S è a superfície da caixa retangular limitada pelos planos
.
Utilize o teorema do divergente para calcular a integral de superficie
em que
e S è a superficie do tetraedro com vértices
.
Analise a convergência das seguintes séries:
b) [Converge, Comparação com o limite]
b)
Analise a convergência das seguintes séries:
a) [Diverge, pelo Teste da Divergência]
a)