Utilize o teorema do divergente para calcular a integral de superficie
em que
e S è a superficie do tetraedro com vértices
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema do Divergente. O problema pede para calcular a integral de superfície da função vetorial
sobre a superfície
do tetraedro com vértices em
,
,
e
. Para aplicar o Teorema do Divergente, precisamos encontrar a divergente de
e depois calcular a integral de volume sobre o tetraedro.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergente da função vetorial
. A divergente de
é dada por:
Calculando cada termo:
-
-
-
(porque não há na expressão)
Então:
Passo 3
Agora, segundo o Teorema do Divergente, a integral de superfície pode ser transformada em uma integral de volume:
Precisamos encontrar os limites de integração para o tetraedro. Como os vértices estão em
,
,
e
, as equações que definem o tetraedro são
,
,
e
.
Passo 4
Vamos configurar a integral tripla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral em
:
Integrando termo a termo:
Avaliado de
a
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, a integral em
:
Fazendo a substituição
,
, quando
,
; quando
,
:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.
Exercícios relacionados
Utilize o teorema de Stokes para calcular
, em que
e
é a curva de fronteira do parabolóide
com
com orientação ascendente (observe que a curva de fronteira está exatamente sobre o plano xy).
Utilize o teorema de Stokes para calcular
, em que
e
é a fronteira da parte do plano
no primeiro octante orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Utilize o teorema do divergente para calcular a integral de superficie
em que
e S è a superfície da caixa retangular limitada pelos planos
.
Analise a convergência das seguintes séries:
d) [Converge, teste da série alternada]
d)