Utilize o teorema do divergente para calcular a integral de superficie integral duplaS F cdot d S em que F(x, y, z)=(3 x y, y^2,-x^2 y^4) e S è a superficie do tetraedro com vértices (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
524
124
724
1124
2324

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema do Divergente. O problema pede para calcular a integral de superfície da função vetorial F(x, y, z) = (3xy, y^2, -x^2y^4) sobre a superfície S do tetraedro com vértices em (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Para aplicar o Teorema do Divergente, precisamos encontrar a divergente de F e depois calcular a integral de volume sobre o tetraedro.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergente da função vetorial F. A divergente de F é dada por:
nabla cdot F = partialpartial x(3xy) + partialpartial y(y^2) + partialpartial z(-x^2y^4)
Calculando cada termo:
  • partialpartial x(3xy) = 3y
  • partialpartial y(y^2) = 2y
  • partialpartial z(-x^2y^4) = 0 (porque não há z na expressão)
Então:
nabla cdot F = 3y + 2y = 5y

Passo 3

Agora, segundo o Teorema do Divergente, a integral de superfície pode ser transformada em uma integral de volume:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV = integral triplaV 5y , dV
Precisamos encontrar os limites de integração para o tetraedro. Como os vértices estão em (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1), as equações que definem o tetraedro são x >= 0, y >= 0, z >= 0 e x + y + z <= 1.

Passo 4

Vamos configurar a integral tripla:
integral triplaV 5y , dV = 5 integral0^1 integral0^1 - x integral0^1 - x - y y , dz , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^1 - x - y y , dz = y cdot (1 - x - y)
Então, a integral fica:
5 integral0^1 integral0^1 - x y(1 - x - y) , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral em y:
integral0^1 - x y(1 - x - y) , dy = integral0^1 - x (y - xy - y^2) , dy
Integrando termo a termo:
  • integral y , dy = 12y^2
  • integral xy , dy = x cdot 12y^2
  • integral y^2 , dy = 13y^3
Avaliado de 0 a 1 - x:
12(1 - x)^2 - x cdot 12(1 - x)^2 - 13(1 - x)^3
Simplificando:
12(1 - x)^2(1 - x) - 13(1 - x)^3 = 12(1 - x)^3 - 13(1 - x)^3 = (12 - 13)(1 - x)^3 = 16(1 - x)^3

Passo 6

Agora, a integral em x:
5 integral0^1 16(1 - x)^3 , dx = 56 integral0^1 (1 - x)^3 , dx
Fazendo a substituição u = 1 - x, du = -dx, quando x=0, u=1; quando x=1, u=0:
56 integral1^0 u^3 (-du) = 56 integral0^1 u^3 , du = 56 cdot 14 = 524

Resposta

A integral de superfície é igual a 524.

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& -27 pi & 27 pi & -9 pi & 9 pi & -3 pi
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32
52
92
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