Analise a convergência das seguintes séries:
b)
[Converge, Comparação com o limite]
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série para analisar se ela converge ou não. A série é a soma de
quando
vai de 1 até o infinito. A matéria que vamos usar aqui é a de convergência de séries, especificamente o Teste da Comparação com o Limite. Isso vai ajudar a gente a descobrir se a série soma dá um número finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a série convergir. Uma série converge se a soma dos seus termos vai se aproximando de algum número específico quando adicionamos mais e mais termos. Se não, ela diverge.
Passo 3
Vamos usar o Teste da Comparação com o Limite. Esse teste compara a nossa série com outra série conhecida que sabemos se ela converge ou diverge. Para isso, a gente calcula o limite do quociente dos termos das duas séries quando
vai para o infinito.
Passo 4
Precisamos escolher uma série simplificada para comparar. Observando o termo
, vamos simplificar para ver qual parte domina quando
é bem grande:
- No numerador,
- No denominador,
Então, o termo se parece com
Passo 5
A série simplificada que a gente vai comparar é
. Sabemos que essa série converge, porque é uma série p com
.
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite do quociente entre o termo da nossa série e o termo da série simplificada:
Simplificando:
O limite é
, que é um número finito e diferente de zero.
Passo 7
Como o limite do quociente é finito e a série comparada
converge, pelo Teste da Comparação com o Limite, nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Analise a convergência das seguintes séries:
d) [Converge, teste da série alternada]
d)
Utilize o teorema do divergente para calcular a integral de superficie
em que
e S è a superfície da caixa retangular limitada pelos planos
.
Analise a convergência das seguintes séries:
a) [Diverge, pelo Teste da Divergência]
a)
Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(a) [Convergente, Limite
(a)