Analise a convergência das seguintes séries:
b) sumn=1^infty raizn^3+13 n^3+4 n^2+2 [Converge, Comparação com o limite]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série para analisar se ela converge ou não. A série é a soma de quando vai de 1 até o infinito. A matéria que vamos usar aqui é a de convergência de séries, especificamente o Teste da Comparação com o Limite. Isso vai ajudar a gente a descobrir se a série soma dá um número finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a série convergir. Uma série converge se a soma dos seus termos vai se aproximando de algum número específico quando adicionamos mais e mais termos. Se não, ela diverge.

Passo 3

Vamos usar o Teste da Comparação com o Limite. Esse teste compara a nossa série com outra série conhecida que sabemos se ela converge ou diverge. Para isso, a gente calcula o limite do quociente dos termos das duas séries quando vai para o infinito.

Passo 4

Precisamos escolher uma série simplificada para comparar. Observando o termo , vamos simplificar para ver qual parte domina quando é bem grande:
  • No numerador,
  • No denominador,
Então, o termo se parece com

Passo 5

A série simplificada que a gente vai comparar é . Sabemos que essa série converge, porque é uma série p com .

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite do quociente entre o termo da nossa série e o termo da série simplificada:
limn to infty raizn^3+13 n^3+4 n^2+21n^1.5 = limn to infty raizn^3+1 cdot n^1.53 n^3+4 n^2+2
Simplificando:
limn to infty n^1.5 cdot n^1.53n^3 = limn to infty n^33n^3 = 13
O limite é , que é um número finito e diferente de zero.

Passo 7

Como o limite do quociente é finito e a série comparada converge, pelo Teste da Comparação com o Limite, nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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