Utilize o teorema do divergente para calcular a integral de superficie integral duplaS F cdot d S em que F(x, y, z)=(x^2 y,-x^2 z, z^2 y) e S è a superfície da caixa retangular limitada pelos planos x=0, x=3, y=0, y=2, z=0 e z=1.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre o Teorema do Divergente. A gente precisa calcular a integral de superfície onde o campo vetorial é . A superfície é a caixa retangular limitada pelos planos , , , , e . Para isso, vamos usar o Teorema do Divergente, que relaciona a integral de superfície com uma integral tripla sobre o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Divergente. Ele diz que:
integral duplaS F cdot d S = integral triplaV nabla cdot F , dV
Ou seja, a integral de superfície do campo sobre é igual à integral tripla do divergente de sobre o volume limitado por .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o divergente de nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z , que é dado por:
nabla cdot F = 2x y + 0 + 2z y = y(2x + 2z)
Vamos calcular cada termo:
  • (já que não tem aqui)
Então, o divergente fica:

Passo 4

Com o divergente calculado, vamos expressar a integral tripla sobre o volume integral triplaV y(2x + 2z) , dx , dy , dz :
integral0^3 integral0^2 integral0^1 y(2x + 2z) , dz , dy , dx
Os limites de integração são:
  • varia de 0 a 3
  • varia de 0 a 2
  • varia de 0 a 1
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, integraremos em relação a integral0^1 y(2x + 2z) , dz = y [2x z + z^2]0^1 = y (2x cdot 1 + 1^2) - y (0) = y(2x + 1) :
integral0^2 y(2x + 1) , dy = (2x + 1) integral0^2 y , dy = (2x + 1) [y^22]0^2 = (2x + 1) (42) = (2x + 1)(2) = 4x + 2
Agora, integremos em relação a integral0^3 (4x + 2) , dx = [2x^2 + 2x]0^3 = (2 cdot 9 + 6) - 0 = 18 + 6 = 24 :
Por fim, integremos em relação a :

Resposta

A integral de superfície vale 24.

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Utilize o teorema do divergente para calcular a integral de superficie integral duplaS F cdot d S em que F(x, y, z)=(3 x y, y^2,-x^2 y^4) e S è a superficie do tetraedro com vértices (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
524
124
724
1124
2324
Utilize o teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r, em que F(x, y, z)=(3 y, 4 z,-6 x) e C é a curva de fronteira do parabolóide z=9-x^2-y^2 com z >= 0 com orientação ascendente (observe que a curva de fronteira está exatamente sobre o plano xy).
& -27 pi & 27 pi & -9 pi & 9 pi & -3 pi
Analise a convergência das seguintes séries:
d) sumn=1^infty(-1)^n n^3n^4+1 [Converge, teste da série alternada]
Analise a convergência das seguintes séries:
b) sumn=1^infty raizn^3+13 n^3+4 n^2+2 [Converge, Comparação com o limite]