Utilize o teorema do divergente para calcular a integral de superficie
em que
e S è a superfície da caixa retangular limitada pelos planos
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre o Teorema do Divergente. A gente precisa calcular a integral de superfície
onde o campo vetorial é
. A superfície
é a caixa retangular limitada pelos planos
,
,
,
,
e
. Para isso, vamos usar o Teorema do Divergente, que relaciona a integral de superfície com uma integral tripla sobre o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Divergente. Ele diz que:
Ou seja, a integral de superfície do campo
sobre
é igual à integral tripla do divergente de
sobre o volume
limitado por
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o divergente de
, que é dado por:
Vamos calcular cada termo:
-
-
(já que não tem aqui) -
Então, o divergente fica:
Passo 4
Com o divergente calculado, vamos expressar a integral tripla sobre o volume
:
Os limites de integração são:
-
varia de 0 a 3 -
varia de 0 a 2 -
varia de 0 a 1
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, integraremos em relação a
:
Agora, integremos em relação a
:
Por fim, integremos em relação a
:
Resposta
A integral de superfície
vale 24.
Exercícios relacionados
Utilize o teorema do divergente para calcular a integral de superficie
em que
e S è a superficie do tetraedro com vértices
.
Utilize o teorema de Stokes para calcular
, em que
e
é a curva de fronteira do parabolóide
com
com orientação ascendente (observe que a curva de fronteira está exatamente sobre o plano xy).
Analise a convergência das seguintes séries:
d) [Converge, teste da série alternada]
d)
Analise a convergência das seguintes séries:
b) [Converge, Comparação com o limite]
b)