Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(a) a_n = ln(n^2) / ln(2n) [Convergente, Limite 2

Passo 1

Então, a gente tem uma sequência e precisamos descobrir se ela converge ou diverge. Se ela convergir, vamos calcular o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que . Então, a sequência fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador . Utilizando a propriedade , temos:
Portanto, a sequência fica:

Passo 4

Para encontrar o limite quando tende ao infinito, vamos dividir o numerador e o denominador por :

Passo 5

Sabemos que cresce sem limites conforme aumenta. Portanto, tende a 0 quando vai para o infinito. Assim, a expressão simplifica para:

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é igual a 2.

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