Analise a convergência das sequências a seguir:
OBS: OBRIGATÓRIO APRESENTAÇÃO DA RESOLUÇĀO.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para analisarmos a convergência da sequência
. Isso está relacionado ao conteúdo de Limites de Sequências, onde vamos verificar se a sequência tem um limite finito quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os limites e um pouco sobre a função seno.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar encontrar o limite da sequência quando
vai para o infinito. A expressão dada é:
Quando
cresce muito, os termos com
no numerador e no denominador vão dominar, mas temos também o
, que pode complicar as coisas.
Passo 3
Para simplificar, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por
. Isso ajuda a identificar o comportamento dominante da expressão:
Passo 4
Agora, analisamos cada parte. Sabemos que
oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Então,
fica entre
e
. Quando
tende ao infinito,
tende a 0. Portanto:
Passo 5
Substituindo esse resultado na nossa expressão simplificada:
Isso significa que a sequência converge para
.
Resposta
A sequência
converge para
.