Analise a convergência das sequências a seguir: {10n / (7n + sen(2n))}_{n=1}^{infinito} OBS: OBRIGATÓRIO APRESENTAÇÃO DA RESOLUÇĀO.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para analisarmos a convergência da sequência . Isso está relacionado ao conteúdo de Limites de Sequências, onde vamos verificar se a sequência tem um limite finito quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os limites e um pouco sobre a função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar encontrar o limite da sequência quando vai para o infinito. A expressão dada é:
Quando cresce muito, os termos com no numerador e no denominador vão dominar, mas temos também o , que pode complicar as coisas.

Passo 3

Para simplificar, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por . Isso ajuda a identificar o comportamento dominante da expressão:

Passo 4

Agora, analisamos cada parte. Sabemos que oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Então, fica entre e . Quando tende ao infinito, tende a 0. Portanto:

Passo 5

Substituindo esse resultado na nossa expressão simplificada:
Isso significa que a sequência converge para .

Resposta

A sequência converge para .

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