Determine todas as raízes de cada equação e representeos como vetores no plano complexo. Deixe as respostas na forma exponencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar todas as raízes da equação
e representá-las como vetores no plano complexo na forma exponencial. Isso envolve conceitos de números complexos, especialmente a forma polar e a representação exponencial. Para resolver, vamos precisar usar a polarização de números complexos e a fórmula das raízes
-ésimas.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolar
:
Isso significa que queremos encontrar todos os números complexos
que, elevados à quarta potência, resultam em
.
Passo 3
Agora, vamos expressar
na forma polar. Um número complexo na forma polar é dado por:
onde
é o módulo (ou magnitude) e
é o argumento (ou ângulo).
Para
:
- O módulo
é (já que o módulo de é , aqui e ). - O argumento
é radianos, pois o número está no eixo imaginário positivo.
Então:
Passo 4
Para encontrar as raízes
da equação
, usamos a fórmula das raízes
-ésimas de um número complexo:
onde:
-
(pois é uma equação de quarto grau) -
-
-
(para obter todas as raízes distintas)
Passo 5
Vamos calcular cada raiz usando a fórmula:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
As raízes da equação
na forma exponencial são: