Determine todas as raízes de cada equação e representeos como vetores no plano complexo. Deixe as respostas na forma exponencial.
z^4 - 3i = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar todas as raízes da equação e representá-las como vetores no plano complexo na forma exponencial. Isso envolve conceitos de números complexos, especialmente a forma polar e a representação exponencial. Para resolver, vamos precisar usar a polarização de números complexos e a fórmula das raízes -ésimas.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolar :
Isso significa que queremos encontrar todos os números complexos que, elevados à quarta potência, resultam em .

Passo 3

Agora, vamos expressar na forma polar. Um número complexo na forma polar é dado por:
onde é o módulo (ou magnitude) e é o argumento (ou ângulo).
Para :
  • O módulo é (já que o módulo de é , aqui e ).
  • O argumento é radianos, pois o número está no eixo imaginário positivo.
Então:

Passo 4

Para encontrar as raízes da equação , usamos a fórmula das raízes -ésimas de um número complexo:
onde:
  • (pois é uma equação de quarto grau)
  • (para obter todas as raízes distintas)

Passo 5

Vamos calcular cada raiz usando a fórmula:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

As raízes da equação na forma exponencial são:

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