Determine o grau n do polinômio de Taylor T_n(x) de f(x) = e^x em torno de a = 0 para que obtenhamos uma aproximação para o número de Euler e ≈ Tn(1) com precisão de três casas decimais.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos determinar o grau do polinômio de Taylor da função centrado em , de modo que a aproximação tenha uma precisão de três casas decimais.

Passo 2

Para encontrar o polinômio de Taylor de em torno de , usamos a fórmula de Taylor:
Sabemos que todas as derivadas de são iguais a , e avaliadas em , temos . Assim, o polinômio de Taylor fica:

Passo 3

Queremos que seja uma boa aproximação para , com uma precisão de três casas decimais. Isso significa que o erro absoluto deve ser menor que :

Passo 4

Vamos utilizar a estimativa do erro do polinômio de Taylor, que é dada por:
Onde é um limite para a -ésima derivada de no intervalo considerado. Para , todas as derivadas são , e no intervalo , o máximo valor é . Portanto, .

Passo 5

Substituindo na estimativa do erro:
Nosso objetivo é encontrar o menor valor de que satisfaça:

Passo 6

Vamos calcular o fatorial para diferentes valores de até que a desigualdade seja satisfeita.
Sabemos que .
Vamos testar :
Esse valor é menor que ? Não, pois .
Agora, testamos :
Agora, temos que , portanto, satisfaz a condição.

Passo 7

Assim, o grau do polinômio de Taylor necessário é:

Resposta

O grau necessário do polinômio de Taylor é .

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