Determine o grau
do polinômio de Taylor
de
em torno de
para que obtenhamos uma aproximação para o número de Euler
com precisão de três casas decimais.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos determinar o grau
do polinômio de Taylor
da função
centrado em
, de modo que a aproximação
tenha uma precisão de três casas decimais.
Passo 2
Para encontrar o polinômio de Taylor de
em torno de
, usamos a fórmula de Taylor:
Sabemos que todas as derivadas de
são iguais a
, e avaliadas em
, temos
. Assim, o polinômio de Taylor fica:
Passo 3
Queremos que
seja uma boa aproximação para
, com uma precisão de três casas decimais. Isso significa que o erro absoluto deve ser menor que
:
Passo 4
Vamos utilizar a estimativa do erro do polinômio de Taylor, que é dada por:
Onde
é um limite para a
-ésima derivada de
no intervalo considerado. Para
, todas as derivadas são
, e no intervalo
, o máximo valor é
. Portanto,
.
Passo 5
Substituindo na estimativa do erro:
Nosso objetivo é encontrar o menor valor de
que satisfaça:
Passo 6
Vamos calcular o fatorial para diferentes valores de
até que a desigualdade seja satisfeita.
Sabemos que
.
Vamos testar
:
Esse valor é menor que
? Não, pois
.
Agora, testamos
:
Agora, temos que
, portanto,
satisfaz a condição.
Passo 7
Assim, o grau
do polinômio de Taylor necessário é:
Resposta
O grau necessário do polinômio de Taylor é
.