Analise as equações diferenciais ordinárias que seguem. Quando a equação for separável, separe as variáveis. Quando a equação não for separável, reescreva-a utilizando uma substituição adequada e então separe-a. Não é necessário resolver. Após separar todas, escolha uma e resolva.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você trouxe! Temos a equação diferencial
. Nosso objetivo aqui é analisar essa equação para ver se ela é separável. Se for, a gente separa as variáveis. Se não for, vamos tentar uma substituição que facilite a separação. No fim, vamos escolher uma das equações separadas e resolver. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como trabalhar com elas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser separável. Uma equação é separável se a gente consegue escrever toda a parte que envolve
de um lado e toda a parte que envolve
de outro. Basicamente, queremos chegar em algo do tipo
.
Passo 3
Vamos analisar a equação que temos:
. Para ver se é separável, vamos tentar isolar os termos de
e
. Mas antes, vamos reorganizar a equação:
Agora, vamos tentar dividir ambos os lados por algo para separar
e
. Olhando bem, vimos que os termos ainda estão misturados, então essa equação não está separada. Isso significa que precisamos de uma substituição para facilitar a separação das variáveis.
Passo 4
Uma técnica comum para esse tipo de equação é usar uma substituição que relacione
e
. Vamos tentar a substituição
. Isso significa que
. Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na equação original:
Simplificando isso:
Passo 6
Vamos juntar os termos que têm
:
Agora, vamos dividir toda a equação por
para simplificar:
Passo 7
Agora, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
Dividindo ambos os lados por
:
Pronto! Agora conseguimos separar as variáveis
e
.
Passo 8
Agora que as variáveis estão separadas, vamos escolher uma das equações para resolver. Vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é simples:
Para o lado direito, vamos fazer uma substituição. Seja
, então
, ou seja,
. Então, a integral fica:
Resposta
Juntando tudo, temos:
Substituindo
:
Esta é a solução da equação diferencial dada.