Analise as equações diferenciais ordinárias que seguem. Quando a equação for separável, separe as variáveis. Quando a equação não for separável, reescreva-a utilizando uma substituição adequada e então separe-a. Não é necessário resolver. Após separar todas, escolha uma e resolva.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você trouxe! Temos a equação diferencial . Nosso objetivo aqui é analisar essa equação para ver se ela é separável. Se for, a gente separa as variáveis. Se não for, vamos tentar uma substituição que facilite a separação. No fim, vamos escolher uma das equações separadas e resolver. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como trabalhar com elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser separável. Uma equação é separável se a gente consegue escrever toda a parte que envolve de um lado e toda a parte que envolve de outro. Basicamente, queremos chegar em algo do tipo .

Passo 3

Vamos analisar a equação que temos: . Para ver se é separável, vamos tentar isolar os termos de e . Mas antes, vamos reorganizar a equação:
Agora, vamos tentar dividir ambos os lados por algo para separar e . Olhando bem, vimos que os termos ainda estão misturados, então essa equação não está separada. Isso significa que precisamos de uma substituição para facilitar a separação das variáveis.

Passo 4

Uma técnica comum para esse tipo de equação é usar uma substituição que relacione e . Vamos tentar a substituição . Isso significa que . Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :

Passo 5

Agora, vamos substituir e na equação original:
Simplificando isso:

Passo 6

Vamos juntar os termos que têm :
Agora, vamos dividir toda a equação por para simplificar:

Passo 7

Agora, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
Dividindo ambos os lados por :
Pronto! Agora conseguimos separar as variáveis e .

Passo 8

Agora que as variáveis estão separadas, vamos escolher uma das equações para resolver. Vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é simples:
Para o lado direito, vamos fazer uma substituição. Seja , então , ou seja, . Então, a integral fica:

Resposta

Juntando tudo, temos:
Substituindo :
Esta é a solução da equação diferencial dada.

Exercícios relacionados

Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
;
Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
sabendo que e são duas soluções da equação homogênea associada.