Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
12.16 y' - (1/x) y = x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método de variação dos parâmetros. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações lineares e métodos de resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Comparando com a equação dada:
Identificamos que:

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a resolver a equação. O fator integrante, geralmente denotado por mu(x), é dado por:
Vamos calcular:
Como estamos trabalhando com funções contínuas, podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x):
Simplificando:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante com y. Ou seja:
Portanto:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para y multiplicando ambos os lados por x:
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde C é uma constante arbitrária.

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