Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método de variação dos parâmetros. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações lineares e métodos de resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Comparando com a equação dada:
Identificamos que:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a resolver a equação. O fator integrante, geralmente denotado por
, é dado por:
Vamos calcular:
Como estamos trabalhando com funções contínuas, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante com
. Ou seja:
Portanto:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
;
Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais: