Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método de variação dos parâmetros. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações lineares e métodos de resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Comparando com a equação dada:
Identificamos que:

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a resolver a equação. O fator integrante, geralmente denotado por , é dado por:
Vamos calcular:
Como estamos trabalhando com funções contínuas, podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante com . Ou seja:
Portanto:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
;
Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
Analise as equações diferenciais ordinárias que seguem. Quando a equação for separável, separe as variáveis. Quando a equação não for separável, reescreva-a utilizando uma substituição adequada e então separe-a. Não é necessário resolver. Após separar todas, escolha uma e resolva.
Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais: