Analise as seguintes
Questão. Considere a função
. Decida se
é derivável em
, em caso afirmativo, calcule
. Justifique suas afirmações.
Questão. Considere a função
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função
e precisa descobrir se ela é derivável em
. Se for, também vamos calcular a derivada nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e analisar o comportamento da função perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a função
. O valor absoluto,
, significa que sempre teremos um número não negativo. Então, podemos reescrever a função de duas maneiras, dependendo do sinal de
:
- Se
, então , então . - Se
, então , então .
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a função é derivável em
. Para isso, vamos calcular os limites das derivadas pela direita e pela esquerda e ver se eles são iguais.
A derivada de uma função em um ponto pode ser entendida como o limite da taxa de variação da função quando nos aproximamos desse ponto. Se os limites das derivadas laterais (pela direita e pela esquerda) coincidirem, a derivada existe nesse ponto.
Passo 4
Vamos calcular a derivada para
:
Para
,
.
A derivada de
é
.
Portanto, quando
se aproxima de 0 pela direita (
), temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada para
:
Para
,
.
A derivada de
é
.
Portanto, quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
), temos:
Passo 6
Como os limites das derivadas pelas duas direções são iguais (
), concluímos que a função
é derivável em
, e a derivada nesse ponto é zero.
Resposta
A função
é derivável em
e sua derivada nesse ponto é
.
Exercícios relacionados
Determine
a fim de que a função
, definida por
, seja do
grau.
Calcule
para as funções
abaixo:
16)
16)
Em que pontos
é derivável?
(b) .
(b)
Efetue as operações pedidas com os polinômios abaixo:
b)
b)