Analise as seguintes
Questão. Considere a função f(x) = x |x|. Decida se f é derivável em x = 0 e, em caso afirmativo, calcule f'(0). Justifique suas afirmações.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função e precisa descobrir se ela é derivável em . Se for, também vamos calcular a derivada nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e analisar o comportamento da função perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função . O valor absoluto, , significa que sempre teremos um número não negativo. Então, podemos reescrever a função de duas maneiras, dependendo do sinal de :
  • Se , então , então .
  • Se , então , então .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a função é derivável em . Para isso, vamos calcular os limites das derivadas pela direita e pela esquerda e ver se eles são iguais.
A derivada de uma função em um ponto pode ser entendida como o limite da taxa de variação da função quando nos aproximamos desse ponto. Se os limites das derivadas laterais (pela direita e pela esquerda) coincidirem, a derivada existe nesse ponto.

Passo 4

Vamos calcular a derivada para :
Para , .
A derivada de é .
Portanto, quando se aproxima de 0 pela direita ( ), temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada para :
Para , .
A derivada de é .
Portanto, quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ), temos:

Passo 6

Como os limites das derivadas pelas duas direções são iguais ( ), concluímos que a função é derivável em , e a derivada nesse ponto é zero.

Resposta

A função é derivável em e sua derivada nesse ponto é .

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