Analise as seguintes
Questão. Considere a função . Decida se é derivável em , em caso afirmativo, calcule . Justifique suas afirmações.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função e precisa descobrir se ela é derivável em . Se for, também vamos calcular a derivada nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e analisar o comportamento da função perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função . O valor absoluto, , significa que sempre teremos um número não negativo. Então, podemos reescrever a função de duas maneiras, dependendo do sinal de :
  • Se , então , então .
  • Se , então , então .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a função é derivável em . Para isso, vamos calcular os limites das derivadas pela direita e pela esquerda e ver se eles são iguais.
A derivada de uma função em um ponto pode ser entendida como o limite da taxa de variação da função quando nos aproximamos desse ponto. Se os limites das derivadas laterais (pela direita e pela esquerda) coincidirem, a derivada existe nesse ponto.

Passo 4

Vamos calcular a derivada para :
Para , .
A derivada de é .
Portanto, quando se aproxima de 0 pela direita ( ), temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada para :
Para , .
A derivada de é .
Portanto, quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ), temos:

Passo 6

Como os limites das derivadas pelas duas direções são iguais ( ), concluímos que a função é derivável em , e a derivada nesse ponto é zero.

Resposta

A função é derivável em e sua derivada nesse ponto é .

Exercícios relacionados

Determine a fim de que a função , definida por , seja do grau.
Calcule para as funções abaixo:
16)
Em que pontos é derivável?
(b) .
Efetue as operações pedidas com os polinômios abaixo:
b)