Calcule
para as funções
abaixo:
16)
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Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma função bem interessante:
O objetivo aqui é calcular a derivada dessa função, ou seja, encontrar
. Para isso, vamos precisar usar algumas regras de derivação, como a regra do quociente e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação das regras de derivação. A função dada é um quociente entre duas partes:
Onde:
Passo 3
Para encontrar
, vamos usar a regra do quociente, que diz que:
Então, precisamos calcular
e
.
Passo 4
Vamos começar encontrando
. Lembre-se que
, que é o produto de duas funções. Vamos usar a regra do produto, que é:
Aplicando isso em
:
Calculando as derivadas:
-
(usando a regra do poder) -
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Lembrando que
, que também é o produto de duas funções. Usamos novamente a regra do produto:
Calculando as derivadas:
-
-
(usando a regra da cadeia)
Então:
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos aplicar a regra do quociente para encontrar
:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Podemos simplificar um pouco essa expressão:
-
Multiplique os termos no numerador:
-
-
Multiplique os termos restantes:
-
-
Substitua de volta na expressão do numerador:
Passo 8
Finalmente, a expressão completa para a derivada fica assim:
Resposta
A derivada da função é: