Calcule f'(x) para as funções f abaixo:
16) f(x) = (raiz(cubica(x) * sen(x))) / (x^2 * cos(x^2))

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma função bem interessante:
O objetivo aqui é calcular a derivada dessa função, ou seja, encontrar . Para isso, vamos precisar usar algumas regras de derivação, como a regra do quociente e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação das regras de derivação. A função dada é um quociente entre duas partes:
Onde:

Passo 3

Para encontrar , vamos usar a regra do quociente, que diz que:
Então, precisamos calcular e .

Passo 4

Vamos começar encontrando . Lembre-se que , que é o produto de duas funções. Vamos usar a regra do produto, que é:
Aplicando isso em :
Calculando as derivadas:
  • (usando a regra do poder)
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Lembrando que , que também é o produto de duas funções. Usamos novamente a regra do produto:
Calculando as derivadas:
  • (usando a regra da cadeia)
Então:

Passo 6

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do quociente para encontrar :
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Podemos simplificar um pouco essa expressão:
  1. Multiplique os termos no numerador:
  2. Multiplique os termos restantes:
  3. Substitua de volta na expressão do numerador:

Passo 8

Finalmente, a expressão completa para a derivada fica assim:

Resposta

A derivada da função é:

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