Em que pontos é derivável?
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta em que pontos a função é derivável. Isso envolve conceitos de cálculo sobre derivadas e a condição para uma função ser diferenciável em determinados pontos. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a derivada dessa função e verificar se ela existe em todos os pontos ou se há algum ponto específico onde não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar o cálculo da derivada. Observamos que:
Aqui, usamos a propriedade e fatoramos de dentro da raiz.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de para . Como é igual a se e se , a função é diferenciável para todo diferente de zero. Vamos derivar usando a regra do produto e a regra da cadeia.
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos verificar o ponto onde . Para a função ser derivável nesse ponto, o limite da derivada pela direita deve ser igual ao limite pela esquerda.
Calculando o limite quando se aproxima de 0:
Como os limites são diferentes ( e ), a derivada em não existe.

Passo 5

Concluímos que a função é diferenciável para todos os valores de exceto em , pois nesse ponto a derivada não existe devido aos limites laterais diferentes.

Resposta

A função é derivável para todo número real menos em . Ou seja, é derivável para todo com exceção de .

Exercícios relacionados

Analise as seguintes
Questão. Considere a função . Decida se é derivável em , em caso afirmativo, calcule . Justifique suas afirmações.
Determine a fim de que a função , definida por , seja do grau.
Efetue as operações pedidas com os polinômios abaixo:
b)
Considere os pontos e , de modo que o segmento passa pelo ponto . Ache o valor de de modo que a área de seja mínima. Mostre que neste caso é ponto médio de .