Em que pontos
é derivável?
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta em que pontos a função
é derivável. Isso envolve conceitos de cálculo sobre derivadas e a condição para uma função ser diferenciável em determinados pontos. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a derivada dessa função e verificar se ela existe em todos os pontos ou se há algum ponto específico onde não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar o cálculo da derivada. Observamos que:
Aqui, usamos a propriedade
e fatoramos
de dentro da raiz.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
para
. Como
é igual a
se
e
se
, a função
é diferenciável para todo
diferente de zero. Vamos derivar usando a regra do produto e a regra da cadeia.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos verificar o ponto onde
. Para a função ser derivável nesse ponto, o limite da derivada pela direita deve ser igual ao limite pela esquerda.
Calculando o limite quando
se aproxima de 0:
Como os limites são diferentes (
e
), a derivada em
não existe.
Passo 5
Concluímos que a função
é diferenciável para todos os valores de
exceto em
, pois nesse ponto a derivada não existe devido aos limites laterais diferentes.
Resposta
A função
é derivável para todo número real
menos em
. Ou seja,
é derivável para todo
com exceção de
.
Exercícios relacionados
Analise as seguintes
Questão. Considere a função . Decida se
é derivável em
, em caso afirmativo, calcule
. Justifique suas afirmações.
Questão. Considere a função
Determine
a fim de que a função
, definida por
, seja do
grau.
Efetue as operações pedidas com os polinômios abaixo:
b)
b)
Considere os pontos
e
, de modo que o segmento
passa pelo ponto
. Ache o valor de
de modo que a área de
seja mínima. Mostre que neste caso
é ponto médio de
.